如圖，以△ABC的邊AB上一點O為圓心的圓經過B、C兩點，且與邊AB相交於點E，D是弧BE的中點，CD交AB於...
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問題詳情：
如圖，以△ABC的邊AB上一點O為圓心的圓經過B、C兩點，且與邊AB相交於點E，D是弧BE的中點，CD交AB於F，AC=AF．
（1）求*：AC是⊙O的切線；
（2）若EF=5，DF=
，求⊙O的半徑．
【回答】
【考點】切線的判定．
【專題】*題．
【分析】（1）連結OD、OC，如圖，根據垂徑定理的推論，由D是弧BE的中點得到OD⊥BE，則∠D+∠3=90°，而∠3=∠2，所以∠D+∠2=90°，再利用AF=AC，OD=OC，得到∠1=∠2，∠D=∠4，易得∠1+∠4=90°，於是根據切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線；
（2）設⊙O的半徑為r，則OF=OE﹣EF=r﹣5，在Rt△ODF中，根據勾股定理得r2+（r﹣5）2=（
）2，然後解方程即可得到圓的半徑．
【解答】（1）*：連結OD、OC，如圖，
∵D是弧BE的中點，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠3=90°，
∵∠3=∠2，
∴∠D+∠2=90°，
∵AF=AC，OD=OC，
∴∠1=∠2，∠D=∠4，
∴∠1+∠4=90°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：設⊙O的半徑為r，
則OF=OE﹣EF=r﹣5，
在Rt△ODF中，
∵OD2+OF2=DF2，
∴r2+（r﹣5）2=（
）2，
整理得r2﹣5r﹣6=0，
解得r1=6，r2=﹣1，
∴，⊙O的半徑為6．
【點評】本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，*該線段的長等於半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，*該半徑垂直於這條直線．
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：解答題
