如圖1，△ABC是等腰三角形，O是底邊BC中點，腰AB與⊙O相切於點D(1)求*：AC是⊙O的切線；(2)如圖...

問題詳情：

如圖1，△ABC是等腰三角形，O是底邊BC中點，腰AB與⊙O相切於點D

(1)求*：AC是⊙O的切線；

(2)如圖2，連接CD，若tan∠BCD＝，⊙O的半徑為，求BC的長．

【回答】

【解析】(1)*：連接OD，OA，作OF⊥AC於F，如圖，

∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，

∵AB與⊙O相切於點D，

∴OD⊥AB，

而OF⊥AC，

∴OF＝OD，

∴AC是⊙O的切線；

(2)過D作DF⊥BC於F，連接OD，

∵tan∠BCD＝，

∴，

設DF＝a，OF＝x，則CF＝4a，OC＝4a﹣x，

∵O是底邊BC中點，

∴OB＝OC＝4a﹣x，

∴BF＝OB﹣OF＝4a﹣2x，

∵OD⊥AB，

∴∠BDO＝90°，

∴∠BDF+∠FDO＝90°，

∵DF⊥BC，

∴∠DFB＝∠OFD＝90°，∠FDO+∠DOF＝90°，

∴∠BDF＝∠DOF，

∴△DFO∽△BFD，

∴，

∴，

解得：x1＝x2＝a，

∵⊙O的半徑為，

∴OD＝，

∵DF2+FO2＝DO2，

∴(x)2+x2＝()2，

∴x1＝x2＝a＝1，

∴OC＝4a﹣x＝3，

∴BC＝2OC＝6．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題