已知點A(-1,1),B(4,6)在拋物線y=ax2+bx上.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖①，點F的座標...

問題詳情：

已知點A(-1,1),B(4,6)在拋物線y=ax2+bx上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，點F的座標為(0，m)(m>2)，直線AF交拋物線於另一點G，過點G作x軸的垂線，垂足為H，設拋物線與x軸的正半軸交於點E，連接FH，AE，求*：FH∥AE;

(3)如圖②，直線AB分別交x軸，y軸於C，D兩點，點P從點C出發，沿*線CD方向勻速運動，速度為每秒個單位長度，同時點Q從原點O出發，沿x軸正方向勻速運動，速度為每秒1個單位長度，點M是直線PQ與拋物線的一個交點，當運動到t秒時，QM=2PM，直接寫出t的值.

【回答】

（1）解：將A（-1，1）、B（4，6）代入拋物線y=ax2+bx得：

解得,

∴拋物線的解析式為y=x2-x;

(2)*：∵A(-1,1),F(0,m)，

∴直線AF的解析式為y=(m-1)x+m.

聯立

整理得：x2-(m-)x-m=0，

∵A、G為直線AF與拋物線的交點,

∴xA+xG==2m-1,

∴xG=2m-1-(-1)=2m,

∴H(2m,0),

又∵F（0，m），

設直線HF的解析式為：y＝k0x+b0，則

解得

∴直線HF的解析式為：y=-x+m.

令y＝x2-x=0，

解得x1=0，x2＝1，

∴E（1，0），

∵A(-1,1),

設直線AE的解析式為y=k1x+b1，則，

解得，

∴直線AE的解析式為：y=-x+,

∵k0=k1，

∴AE∥HF;

(3)解：當t=或t＝或t＝或t＝時，QM＝2PM.

【解法提示】由題意知：直線AB的解析式為y=x+2,

∴設P(t-2,t),Q(t,0)，M(x0,y0),

則直線PQ的解析式為：y＝.

由QM=2PM可得:|x0-t|=2|x0-t+2|,

解得：x0=t-或x0=t-4.

(i)當x0=t-時,y0=，

∴M(t-,),

將點M代入y=x2-x中得：

(t-)2-(t-)=,

解得：t1=,t2=，

(ii)當x0＝t-4時,y0=2t，

∴M(t-4,2t),

將點M代入y=x2-x中得：

(t-4)2-(t-4)=2t,

解得：t3=,t4=.

綜上所述,當t=或t＝或t＝或t＝時，QM＝2PM.

知識點：實際問題與二次函數

題型：解答題