如圖，拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0），B（4，0），交y軸於點C；(1) 求拋物線的解析式（用...
問題詳情：
如圖，拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0），B（4，0），交y軸於點C；
(1) 求拋物線的解析式（用一般式表示）；
(2) 點D為y軸右側拋物線上一點，是否存在點D使S△ABC=
S△ABD？若存在請直接給出點D座標；若不存在請説明理由；
(3) 將直線BC繞點B順時針旋轉45°，與拋物線交於另一點E，求BE的長.
【回答】
解：
(1) ∵拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0），B（4，0），
∴
，解得
，
∴拋物線解析式為y=﹣
x2+
x+2；
(2) 由題意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB=5，OC=2，
∴S△ABC=
ABOC=
×5×2=5，
∵S△ABC=
S△ABD，
∴S△ABD=
×5=
，
設D（x，y），
∴
AB|y|=
×5|y|=
，解得|y|=3，
當y=3時，由﹣
x2+
x+2=3，解得x=1或x=2，此時D點座標為（1，3）或（2，3）；
當y=﹣3時，由﹣
x2+
x+2=﹣3，解得x=﹣2（捨去）或x=5，此時D點座標為（5，﹣3）；
綜上可知存在滿足條件的點D，其座標為（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；
(3) ∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC=
=
，BC=
=2
，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC為直角三角形，即BC⊥AC，
如圖，設直線AC與直線BE交於點F，過F作FM⊥x軸於點M，
由題意可知∠FBC=45°，
∴∠CFB=45°，
∴CF=BC=2
，
∴
=
，即
=
，解得OM=2，
=
，即
=
，解得FM=6，
∴F（2，6），且B（4，0），
設直線BE解析式為y=kx+m，則可得
，解得
，
∴直線BE解析式為y=﹣3x+12，
聯立直線BE和拋物線解析式可得
，解得
或
，
∴E（5，﹣3），
∴BE=
=
．
知識點：二次函數的圖象和*質
題型：解答題
