如圖，拋物線y=﹣x2+bx+2與x軸交於A，B兩點，與y軸交於C點，且點A的座標為（1，0）．（1）求拋物線...
問題詳情：
如圖，拋物線y=﹣
x2+bx+2與x軸交於A，B兩點，與y軸交於C點，且點A的座標為（1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的座標；
（2）判斷△ABC的形狀，並*你的結論；
（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當△ACM的周長最小時，求點M的座標．
【回答】
（1）頂點D的座標為（﹣
，
）；（2）△ABC是直角三角形（3）當M的座標為（﹣
，
）
【解析】
分析：(1)、將點A的座標代入函數解析式求出b的值，然後將二次函數進行*從而得出頂點座標；(2)、根據二次函數的解析式分別得出點A、B、C的座標，然後分別求出AC、BC和AB的長度，然後根據勾股定理的逆定理得出*；(3)、由拋物線的*質可知，點A與點B關於對稱軸對稱，則BC與對稱軸的交點就是點M，根據一次函數的交點求法得出點M的座標．
詳解：(1)、∵點A（1，0）在拋物線y=﹣
x2+bx+2上，∴﹣
+b+2=0，解得，b=﹣
，
拋物線的解析式為y=﹣
x2﹣
x+2，y=﹣
x2﹣
x+2=﹣
（x+
）2+
，
則頂點D的座標為（﹣
，
）；
(2)、△ABC是直角三角形，
*：點C的座標為（0，2），即OC=2， ﹣
x2﹣
x+2=0， 解得，x1=﹣4，x2=1，
則點B的座標為（﹣4，0），即OB=4，OA=1，OB=4， ∴AB=5，
由勾股定理得，AC=
，BC=2
， AC2+BC2=25=AB2， ∴△ABC是直角三角形；
(3)、由拋物線的*質可知，點A與點B關於對稱軸對稱，
連接BC交對稱軸於M，此時△ACM的周長最小， 設直線BC的解析式為：y=kx+b，
由題意得，
， 解得，
， 則直線BC的解析式為：y=
x+2，
當x=﹣
時，y=
， ∴當M的座標為（﹣
，
）．
點睛：本題主要考查的是二次函數的*質以及一次函數的交點座標，屬於中等難度的題型．待定係數法求函數解析式是解決這個問題的關鍵．
知識點：二次函數的圖象和*質
題型：解答題
