如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸於A、B兩點，其中點A座標為（1，0），與y軸交於點C（0，﹣3）．（1）...
問題詳情：
如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸於A、B兩點，其中點A座標為（1，0），與y軸交於點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）如圖①，連接AC，點P在拋物線上，且滿足∠PAB＝2∠ACO．求點P的座標；
（3）如圖②，點Q為x軸下方拋物線上任意一點，點D是拋物線對稱軸與x軸的交點，直線AQ、BQ分別交拋物線的對稱軸於點M、N．請問DM+DN是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請説明理由．
【回答】
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過點A（1，0），C（0，﹣3）
∴
解得：
∴拋物線的函數表達式為y＝x2+2x﹣3
（2）①若點P在x軸下方，如圖1，
延長AP到H，使AH＝AB，過點B作BI⊥x軸，連接BH，作BH中點G，連接並延長AG交BI於點F，過點H作HI⊥BI於點I
∵當x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴B（﹣3，0）
∵A（1，0），C（0，﹣3）
∴OA＝1，OC＝3，AC＝
，AB＝4
∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝
，cos∠ACO＝
∵AB＝AH，G為BH中點
∴AG⊥BH，BG＝GH
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG
∵∠PAB＝2∠ACO
∴∠BAG＝∠ACO
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝
∴BG＝
AB＝
∴BH＝2BG＝
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°
∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝
，cos∠HBI＝
∴HI＝
BH＝
，BI＝
BH＝
∴xH＝﹣3+＝﹣
，yH＝﹣，即H（﹣
，﹣
）
設直線AH解析式為y＝kx+a
∴
解得：
∴直線AH：y＝
x﹣
∵
解得：
（即點A），
∴P（﹣
，﹣
）
②若點P在x軸上方，如圖2，
在AP上截取AH'＝AH，則H'與H關於x軸對稱
∴H'（﹣
，
）
設直線AH'解析式為y＝k'x+a'
∴
解得：
∴直線AH'：y＝﹣
x+
∵
解得：
（即點A），
∴P（﹣
，
）
綜上所述，點P的座標為（﹣
，﹣
）或（﹣
，
）．
（3）DM+DN為定值
∵拋物線y＝x2+2x﹣3的對稱軸為：直線x＝﹣1
∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1
設Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）
設直線AQ解析式為y＝dx+e
∴
解得：
∴直線AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3
當x＝﹣1時，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6
∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6
設直線BQ解析式為y＝mx+n
∴
解得：
∴直線BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3
當x＝﹣1時，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2
∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，為定值．
知識點：各地中考
題型：綜合題
