已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交於點C(0,﹣3),...
問題詳情:
已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交於點C(0,﹣3),頂點D的座標為(1,﹣4).
(1)求拋物線的解析式.
(2)在y軸上找一點E,使得△EAC為等腰三角形,請直接寫出點E的座標.
(3)點P是x軸上的動點,點Q是拋物線上的動點,是否存在點P、Q,使得以點P、Q、B、D為頂點,BD為一邊的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P、Q座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)∵拋物線的頂點為(1,﹣4),
∴設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2﹣4,
將點C(0,﹣3)代入拋物線y=a(x﹣1)2﹣4中,得a﹣4=﹣3,
∴a=1,
∴拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3;
(2)由(1)知,拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3,
令y=0,則x2﹣2x﹣3=0,
∴x=﹣1或x=3,
∴B(3,0),A(﹣1,0),
令x=0,則y=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∴AC=,
設點E(0,m),則AE=,CE=|m+3|,
∵△ACE是等腰三角形,
∴①當AC=AE時,=,
∴m=3或m=﹣3(點C的縱座標,捨去),
∴E(3,0),
②當AC=CE時,=|m+3|,
∴m=﹣3±,
∴E(0,﹣3+)或(0,﹣3﹣),
③當AE=CE時,=|m+3|,
∴m=﹣,
∴E(0,﹣),
即滿足條件的點E的座標為(0,3)、(0,﹣3+)、(0,﹣3﹣)、(0,﹣);
(3)如圖,存在,∵D(1,﹣4),
∴將線段BD向上平移4個單位,再向右(或向左)平移適當的距離,使點B的對應點落在拋物線上,這樣便存在點Q,此時點D的對應點就是點P,
∴點Q的縱座標為4,
設Q(t,4),
將點Q的座標代入拋物線y=x2﹣2x﹣3中得,t2﹣2t﹣3=4,
∴t=1+2或t=1﹣2,
∴Q(1+2,4)或(1﹣2,4),
分別過點D,Q作x軸的垂線,垂足分別為F,G,
∵拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點B的座標為(3,0),且D(1,﹣4),
∴FB=PG=3﹣1=2,
∴點P的橫座標為(1+2)﹣2=﹣1+2或(1﹣2)﹣2=﹣1﹣2,
即P(﹣1+2,0)、Q(1+2,4)或P(﹣1﹣2,0)、Q(1﹣2,4).
【分析】(1)根據拋物線的頂點座標設出拋物線的解析式,再將點C座標代入求解,即可得出結論;
(2)先求出點A,C座標,設出點E座標,表示出AE,CE,AC,再分三種情況建立方程求解即可;
(3)利用平移先確定出點Q的縱座標,代入拋物線解析式求出點Q的橫座標,即可得出結論.
知識點:各地中考
題型:綜合題