如圖,拋物線y=ax2﹣8ax+12a(a>0)與x軸交於A、B兩點(A在B的左側),與y軸交於點C,點D的坐...
問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2﹣8ax+12a(a>0)與x軸交於A、B兩點(A在B的左側),與y軸交於點C,點D的座標為(﹣6,0),且∠ACD=90°.
(1)請直接寫出A、B兩點的座標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得△PAC的周長最小?若存在,求出點P的座標及周長的最小值;若不存在,説明理由;
(4)平行於y軸的直線m從點D出發沿x軸向右平行移動,到點A停止.設直線m與折線DCA的交點為G,與x軸的交點為H(t,0).記△ACD在直線m左側部分的面積為s,求s關於t的函數關係式及自變量t的取值範圍.
【回答】
解:(1)拋物線的解析式為:y=ax2﹣8ax+12a(a>0),
令y=0,即ax2﹣8ax+12a=0,
解得x1=2,x2=6,
∴A(2,0),B(6,0).
(2)拋物線的解析式為:y=ax2﹣8ax+12a(a>0),
令x=0,得y=12a,∴C(0,12a),OC=12a.
在Rt△COD中,由勾股定理得:CD2=OC2+OD2=(12a)2+62=144a2+36;
在Rt△COD中,由勾股定理得:AC2=OC2+OA2=(12a)2+22=144a2+4;
在Rt△COD中,由勾股定理得:DC2+AC2=AD2;
即:(144a2+36)+(144a2+4)=82,
解得:a=或a=﹣(捨去),
∴拋物線的解析式為:y=x2﹣x+.
(3)存在.
對稱軸為直線:x=﹣=4.
由(2)知C(0,),則點C關於對稱軸x=4的對稱點為C′(8,),
連接AC′,與對稱軸交於點P,則點P為所求.此時△PAC周長最小,最小值為AC+AC′.
設直線AC′的解析式為y=kx+b,則有:
,解得,
∴y=x﹣.
當x=4時,y=,∴P(4,).
過點C′作C′E⊥x軸於點E,則C′E=,AE=6,
在Rt△AC′E中,由勾股定理得:AC′==4;
在Rt△AOC中,由勾股定理得:AC==4.
∴AC+AC′=4+4.
∴存在滿足條件的點P,點P座標為(4,),△PAC周長的最小值為4+4.
(4)①當﹣6≤t≤0時,如答圖4﹣1所示.
∵直線m平行於y軸,
∴,即,解得:GH=(6+t)
∴S=S△DGH=DH•GH=(6+t)•(6+t)=t2+2t+6;
②當0<t≤2時,如答圖4﹣2所示.
∵直線m平行於y軸,
∴,即,解得:GH=﹣t+2.
∴S=S△COD+S梯形OCGH=OD•OC+(GH+OC)•OH
=×6×2+(﹣t+2+2)•t
=﹣t2+2t+6.
∴S=.
知識點:各地中考
題型:綜合題