如圖,已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交於A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交於點C,連接BC.(1)...
問題詳情:
如圖,已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交於A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交於點C,連接BC.
(1)求A,B,C三點的座標;
(2)若點P為線段BC上一點(不與B,C重合),PM∥y軸,且PM交拋物線於點M,交x軸於點N,當△BCM的面積最大時,求△BPN的周長;
(3)在(2)的條件下,當△BCM的面積最大時,在拋物線的對稱軸上存在一點Q,使得△CNQ為直角三角形,求點Q的座標.
【回答】
【考點】二次函數綜合題.
【專題】代數幾何綜合題;壓軸題.
【分析】(1)依據拋物線的解析式直接求得C的座標,令y=0解方程即可求得A、B點的座標;
(2)求出△BCM面積的表達式,這是一個二次函數,求出其取最大值的條件;然後利用勾股定理求出△BPN的周長;
(3)如解答圖,△CNQ為直角三角形,分三種情況:①點Q為直角頂點;②點N為直角頂點;③點C為直角頂點進行解答.
【解答】解:(1)由拋物線的解析式y=﹣x2+2x+3,
∴C(0,3),
令y=0,﹣x2+2x+3=0,解得x=3或x=﹣1;
∴A(﹣1,0),B(3,0).
(2)設直線BC的解析式為:y=kx+b,則有:
,解得,
∴直線BC的解析式為:y=﹣x+3.
設P(x,﹣x+3),則M(x,﹣x2+2x+3),
∴PM=(﹣x2+2x+3)﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x.
∴S△BCM=S△PMC+S△PMB=PM•(xP﹣xC)+PM•(xB﹣xP)=PM•(xB﹣xC)=PM.
∴S△BCM=(﹣x2+3x)=﹣(x﹣)2+.
∴當x=時,△BCM的面積最大.
此時P(,),∴PN=ON=,
∴BN=OB﹣ON=3﹣=.
在Rt△BPN中,由勾股定理得:PB=.
C△BCN=BN+PN+PB=3+.
∴當△BCM的面積最大時,△BPN的周長為3+.
(3)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4
∴拋物線的對稱軸為直線x=1.
在Rt△CNO中,OC=3,ON=,由勾股定理得:CN=.
設點D為CN中點,則D(,),CD=ND=.
如解答圖,△CNQ為直角三角形,
①若點Q為直角頂點.
作Rt△CNO的外接圓⊙D,與對稱軸交於Q1、Q2兩點,由圓周角定理可知,Q1、Q2兩點符合題意.
連接Q1D,則Q1D=CD=ND=.
過點D(,)作對稱軸的垂線,垂足為E,
則E(1,),Q1E=Q2E,DE=1﹣=.
在Rt△Q1DE中,由勾股定理得:
Q1E==.
∴Q1(1,),Q2(1,);
②若點N為直角頂點.
過點N作NF⊥CN,交對稱軸於點Q3,交y軸於點F.
易*Rt△NFO∽Rt△CNO,則=,即,解得OF=.
∴F(0,﹣),又∵N(,0),
∴可求得直線FN的解析式為:y=x﹣.
當x=1時,y=﹣,
∴Q3(1,﹣);
③當點C為直角頂點時.
過點C作Q4C⊥CN,交對稱軸於點Q4.
∵Q4C∥FN,∴可設直線Q4C的解析式為:y=x+b,
∵點C(0,3)在該直線上,∴b=3.
∴直線Q4C的解析式為:y=x+3,
當x=1時,y=,
∴Q4(1,).
綜上所述,滿足條件的點Q有4個,
其座標分別為:Q1(1,),Q2(1,),Q3(1,﹣),Q4(1,).
【點評】本題是二次函數綜合題,難度較大.解題過程中有若干解題技巧需要認真掌握:
①第(2)問中求△BCM面積表達式的方法;
②第(3)問中確定點Q的方法;
③第(3)問中求點Q座標的方法.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題