如圖1，拋物線與拋物線相交y軸於點C，拋物線與x軸交於A、B兩點（點B在點A的右側），直線交x軸負半軸於點N，...

問題詳情：

如圖1，拋物線與拋物線相交y軸於點C，拋物線與x軸交於A、B兩點（點B在點A的右側），直線交x軸負半軸於點N，交y軸於點M，且．

（1）求拋物線的解析式與k的值；

（2）拋物線的對稱軸交x軸於點D，連接，在x軸上方的對稱軸上找一點E，使以點A，D，E為頂點的三角形與相似，求出的長；

（3）如圖2，過拋物線上的動點G作軸於點H，交直線於點Q，若點是點Q關於直線的對稱點，是否存在點G（不與點C重合），使點落在y軸上？若存在，請直接寫出點G的橫座標，若不存在，請説明理由．

【回答】

（1），k的值為；（2）的長為或10；（3）存在，點G的橫座標為或或或．

【解析】（1）根據拋物線可求得點C的座標，代入即可求得t的值，由，求得點N的座標，進而求得k的值；

（2）因為∠AOC=∠EDA=90°已確定，所以分兩種情況討論△BDA與△AOC相似，通過對應邊的比相等可求出DE的長；

（3）先根據題意畫出圖形，通過軸對稱的*質等*四邊形QMQ'G為菱形，分別用字母表示出Q，G的座標，分兩種情況討論求出GQ'的長度，利用三角函數可求出點G的橫座標．

【詳解】（1）當時，，

∴點C的座標為 (0，4)，

∵點C (0，4)在拋物線的圖象上，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為，

∵C (0，4)，，

∴，

∴點N的座標為 (，0)，

∵直線過N (，0)，

∴,

解得,

∴拋物線的解析式為，k的值為；

（2）連接，

令，則,

解得，

∴點A的座標為 (，0)，點B的座標為 (4，0)，

∴拋物線的對稱軸為直線．

∴點A的座標為 (，0)，

∵C (0，4)，

∴，，，

①當時，

，

∴，

∴；

②當時，

，

∴，

∴，

綜上，的長為或10；

（3）如圖，點是點Q關於直線的對稱點，且點在y軸上時，

由軸對稱*質可知，，，，

∵軸，∴軸．

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四邊形為菱形，

∴，

作軸於點P，

設，

則，

∴，

，

∵，

∴，

令，則，令，則，

∴直線與座標軸的交點分別為M (0，3)，N(，0)，

∴OM=3，ON=4，

在中，，

∴，

【點睛】本題是二次函數與幾何的綜合題，考查了用待定係數法求解析式，三角形相似的判定和*質，軸對稱的*質及三角函數等，解題關鍵是能夠根據題意畫出圖形及靈活運用分類討論的思想解題．

知識點：相似三角形

題型：綜合題