如圖，已知直線與x軸交於點A，與y軸交於點C，拋物線經過點A和點C，對稱軸為直線l：，該拋物線與x軸的另一個交...

問題詳情：

如圖，已知直線與x軸交於點A，與y軸交於點C，拋物線 經過點A和點C，對稱軸為直線l：，該拋物線與x軸的另一個交點為B．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P在直線l上，求出使△PAC的周長最小的點P的座標；

（3）點M在此拋物線上，點N在y軸上，以A、B、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足要求的點M的座標；若不能，請説明理由．

【回答】

（1）*：∵∠C=90°，∠BAP=90°

∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，

又∵∠CBO=∠ABP，

∴∠BOC=∠ABP，

∵∠BOC=∠AOP，

∴∠AOP=∠ABP，

∴AP=AO；

（2）*：如圖，過點O作OD⊥AB於D，

∵∠CBO=∠ABP，

∴CO=DO，

∵AE=OC，

∴AE=OD，

∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，

∴∠AOD=∠PAE，

在△AOD和△PAE中，

，

∴△AOD≌△PAE（SAS），

∴∠AEP=∠ADO=90°

∴PE⊥AO；

（3）解：設AE=OC=3k，

∵AE=AC，∴AC=8k，

∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，

∴OA=OE+AE=5k．

由（1）可知，AP=AO=5k．

如圖，過點O作OD⊥AB於點D，

∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．

在Rt△AOD中，AD===4k．

∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．

∵OD∥AP，

∴，即

∵AB=10，PE=AD，

∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k，

由∠CBO=∠ABP，根據軸對稱BC=BD=10﹣4k，

∵∠BOC=∠EOP，∠C=∠PEO=90°，

∴△BCO∽△PEO，

∴=，即 =，

解得k=1．

∴BD=10﹣4k=6，OD=3k=3，

在Rt△BDO中，由勾股定理得：

BO===3．

知識點：各地中考

題型：綜合題