綜合與探究如圖1,拋物線與x軸交於A,B兩點,與y軸交於點C,經過點B的直線交y軸於點E(0,2).(1)求A...

問題詳情：

綜合與探究

如圖1 ,拋物線與x軸交於A,B兩點,與y軸交於點C,經過點B的直線交y軸於點E(0,2).

(1)求A,B,C三點的座標及直線BE的解析式.

(2)如圖2,過點A作BE的平行線交拋物線於點D,點P是拋物線上位於線段AD下方的一個動點，連接PA,PD,求面積的最大值.

(3)若(2)中的點P為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點Q,使得以A,D,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點Q的座標;若不存在,請説明理由.

【回答】

[考點]解一元二次方程,一次函數解析式的確定,解二元一次方程組,二次函數的*質，三角形面積的計算,解一元一次方程,平行四邊形的判定與*質,分類討論思想

[解析] (1) 對於拋物線的解析式,令y =0,可求點A,B的座標,令x =0可求點C的座標，由點B,E的座標可求出直線BE的解析式.

(2)先求出直線AD的解析式，聯立直線AD及拋物線的解析式組成方程組,通過解方程組求出點D的座標.過點P作PF⊥x軸於點F,交AD於點N,過點D作DG⊥x軸於點G,設出點P的座標,表示出PN的長,進而表示出△APD的面積,利用二次函數的*質可求解.

(3)根據AD為邊或對角線，分情況畫出圖形，根據平行四邊形的*質及座標關係求解.

解:(1)當y =0時，,解得x1= 4,x2 =-1.

點A在點B的左側，

A(- 1,0),B(4,0).

當x =0時,y =-2,

C(0,-2).     （2分）

設直線BE的解析式為y=k x +b.

把B(4,0),E(0,2)分別代入,得

解得

直線BE的解析式為.(3分)

(2)由題意可設直線AD的解析式為.

把A(-1,0)代入,得,

解得

直線AD的解析式為    (4分)

由

得

點D的座標為(3,-2). ........ (5分)

如解圖1,過點P作PF⊥x軸於點F,交AD於點N,過點D作DG⊥x軸於點G.

 解圖1                  解圖2

(6分)

設P()則N()(7分)

 （8分）

當a=1時,△APD的面積最大，最大面積為4.  (9分)

(3)存在.點Q的座標為(2,0)或(-4,0)或或(13分)

[提示]如解圖2,當四邊形AQPD或四邊形QAPD是平行四邊形時,PD//AQ,則點P的縱座標為-2.由點P在拋物線上,得,解得x =0或x=3.此時點P與點C重合,PD=3.則點Q的座標為(2,0)或(-4,0).

當四邊形PADQ是平行四邊形時，可得點P的縱座標為2.由點P在拋物線上,得

,解得或.此時點Q的座標為

或.綜上,符合條件的點Q的座標為(2,0)或(-4,0)或或

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題