如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，點O為座標原點，點D為拋物線的頂點，點E...

問題詳情：

如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，點O為座標原點，點D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF＝2，EF＝3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接CB交EF於點M，連接AM交OC於點R，連接AC，求△ACR的周長；

(3)設G(4，－5)在該拋物線上，P是y軸上一動點，過點P作PH⊥EF於點H，連接AP，GH，問AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出點P的座標；如果沒有，請説明理由．

【回答】

解：(1)∵四邊形OCEF為矩形，OF＝2，EF＝3，

∴C點座標為(0，3)，E點座標為(2，3)．

將C、E點座標代入拋物線解析式y＝－x2＋bx＋c得：

，解得.

∴拋物線的解析式為：y＝－x2＋2x＋3；

(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，

令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，

∴A(－1，0)，B(3，0)，

∵AO＝1，CO＝3，

∴在Rt△AOC中，

AC＝＝，

∵CO＝BO＝3，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴FM＝BF＝1，

∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF，

∴△ARO∽△AMF，

∴＝，即＝，

解得RO＝，

∴CR＝OC－OR＝3－＝，

AR＝＝＝，

∴△ACR的周長為：AC＋CR＋AR＝＋＋＝；

（3）如解圖①，取OF中點A′，連接A′G交直線EF的延長線於點H，過點H作HP′⊥y軸於點P′，連接AP′，

第12題解圖①

則當P在P′處時，使AP＋PH＋HG最小，

∵A′為OF中點，

∴A′座標為(1，0)，

設直線A′G的解析式為y＝kx＋a，

將點G(4，－5)，A′(1，0)分別代入得

，解得：，

∴直線A′G的解析式為：y＝－x＋.

令x＝2，得y＝－＋＝－，

∴點H的座標為(2，－)，

∴符合題意的點P的座標為(0，－)．

知識點：相似三角形

題型：綜合題