如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交於B、C兩點，經過B、C兩點的拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸的另一個交...
來源：國語幫 2.64W
問題詳情：
如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交於B、C兩點，經過B、C兩點的拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值；
（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C、P、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請寫出所符合條件的點M的座標；若不存在，請説明理由．
【回答】
【解析】解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝3，
故點B、C的座標為（3，0）、（0，3），將點B、C的座標代入y＝x2+bx+c並解得：b＝﹣4，
故拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+3，令y＝0，則x＝1或3，故點A（1，0），點P（2，﹣1）；
（2）過點E作EH∥y軸交BC於點H，設點E（x，x2﹣4x+3），則點H（x，﹣x+3）
S△CBE＝
HE×OB＝
3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝
（﹣x2+3x），
∵﹣
＜0，當x＝
時，S△CBE有最大值，點E（
，﹣
）；
（3）點C（0，3）、點P（2，﹣1），設點M（2，m），
CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，
①當CM＝CP時，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（捨去m＝﹣1）；
②當CP＝PM時，同理可得：m＝﹣1±2
；
③當CM＝PM時，同理可得：m＝
；
故點M座標為：（2，7）或（2，﹣1+2
）或（2，﹣1﹣2
）或（2，
）．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
