如圖,在直角座標系中,拋物線y=-x2+bx+2與x軸交於A、B兩點,與直線y=2x交於點M(1,m).(1)...
問題詳情:
如圖,在直角座標系中,拋物線y=-x2+bx+2與x軸交於A、B兩點,與直線y=2x交於點M(1,m).
(1)求m,b的值;
(2)已知點N,點M關於原點O對稱,現將線段MN沿y軸向上平移s(s>0)個單位長度.若線段MN與拋物線有兩個不同的公共點,試求s的取值範圍;
(3)利用尺規作圖,在該拋物線上作出點G,使得∠AGO=∠BGO,並簡要説明理由.(保留作圖痕跡)
【回答】
解:(1)把M(1,m)代入y=2x得m=2×1=2,
把M(1,2)代入y=-x2+bx+2得2=-12+b+2,即b=1;
(2)由(1)得y=-x2+x+2,M(1,2),
因為點N,點M關於原點O對稱,所以N(-1,-2),
如解圖①,過點N作CN⊥x軸,交拋物線於C,則C的橫座標為-1,
所以C的縱座標為-(-1)2+(-1)+2=0,
第25題解圖①
所以C(-1,0)與A重合,
則CN=AN=2,即當s=2時線段MN與拋物線有兩個公共點,
設平移後的直線表達式為y=2x+s,
由得x2+x+s-2=0,
由Δ=12-4(s-2)=0,得s=,
即當s=時,線段MN與拋物線只有一個公共點,
所以,當線段MN與拋物線有兩個公共點時,s的取值範圍為2≤s<;
(3)如解圖②,在x軸上取一點P(-2,0),以P為圓心,OP為半徑作圓,⊙P與拋物線的交點,即是所求作的點G(解圖②中的G與G′),
理由:
第25題解圖②
當點G在x軸上方時,由作圖可知,PG=2,PA=1,PB=4,
則==,
∵∠GPA=∠BPG,
∴△GPA∽△BPG,
∴∠PBG=∠PGA,
∵GP=PO,
∴∠POG=∠PGO,
又∵∠POG=∠PBG+∠OGB,
∠PGO=∠PGA+∠AGO,
∴∠AGO=∠BGO,
同理可*:當點G′在x軸的下方時,結論也成立.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題