如圖,拋物線y=-x2+x+c與x軸交於A、B兩點,與y軸交於點C,且A點座標為(-3,0),連接BC、AC....
問題詳情:
如圖,拋物線y=-x2+x+c與x軸交於A、B兩點,與y軸交於點C,且A點座標為(-3,0),連接BC、AC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點E從點B出發,沿x軸向點A運動(點E與點A、B不重合),過點E作直線L平行於AC,交BC於點D,設BE的長為M,△BDE的面積為S,求S關於M的函數關係式,並寫出自變量M的取值範圍;
(3)在(2)的條件下,連接CE,求△CDE面積的最大值.
第7題圖
【回答】
解:(1)∵拋物線y=-x2+x+c過A點,且A(-3,0),
∴0=-×9-×3+c,解得c=9,
∴拋物線的解析式為y=-x2+x+9;
(2)∵拋物線的解析式為y=-x2+x+9,
∴C點座標為(0,9),
∴OC=9,
令y=0可得-x2+x+9=0,解得x=-3或x=6,
∴B點座標為(6,0),
∴AB=6-(-3)=9;
設直線AC的解析式為y=kx+b,
把A、C兩點座標代入可得,
解得,
∴直線AC的解析式為y=3x+9,
∵直線ED∥AC,
∴可設直線ED的解析式為y=3x+m,
∵OB=6,BE=m,
∴OE=6-m,
∴E點的座標為(6-m,0),代入直線ED的解析式可得0=3(6-m)+n,解得n=3(m-6),
∴直線ED的解析式為y=3x+3m-18,
設直線BC的解析式為y=rx+s,
把B、C兩點座標代入可得,
解得,
∴直線BC的解析式為y=-x+9,
聯立,解得,
∴D點座標為(6-m,m),
∴D到BE的距離為m,
∴S=S△BDE=m·m=m2,
又∵E在線段AB上,且不與點A、B重合,
∴0<BE<AB,
∴m的取值範圍為0<m<9;
(3)∵OC=9,BE=m,
∴S△BEC=BE·OC=×m×9=m,
∴S△CDE=S△BEC-S△BDE=m-m2=-(m-)2+,
∴當m=時,△CDE的面積有最大值,最大值為.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題