如圖，拋物線y＝－x2＋x＋1與y軸交於A點，過點A的直線與拋物線交於另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C...

問題詳情：

如圖，拋物線y＝－x2＋x＋1與y軸交於A點，過點A的直線與拋物線交於另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C(3，0)．

(1)求直線AB的函數關係式；

(2)動點P在線段OC上從原點O出發以每秒一個單位的速度向點C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB於點M，交拋物線於點N，設點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數關係式，並寫出t的取值範圍；

(3)設在(2)的條件下(不考慮點P與點O、點C重合的情況)，連接CM、BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對於所求的t值，平行四邊形BCMN是否為菱形？請説明理由．

【回答】

解：(1)設直線AB的函數關係式為y＝ax＋b(a≠0)，

對於拋物線y＝－x2＋x＋1，

令x＝0，得y＝1，即有A(0，1)，

將點A的座標代入直線AB的函數關係式，得b＝1，

令x＝3，得y＝，即有B(3，)，

將點B的座標代入直線AB的函數關係式，得a＝，

∴直線AB的函數關係式為y＝x＋1；………………………(3分)

(2)顯然OP＝t，即P(t，0)，

將x＝t代入拋物線解析式可得y＝－t2＋t＋1，

即N(t，－t2＋t＋1)，

將x＝t代入直線AB的函數關係式可得y＝t＋1，

即M(t，t＋1)，

∴s＝MN＝－t2＋t＋1－(t＋1)，

∴s＝－t2＋t(0≤t≤3)；……………………………………(6分)

(3)顯然NM∥BC，

∴要使得四邊形BCMN為平行四邊形，只要MN＝BC，

即s＝－t2＋t＝，

解得t＝1或t＝2.

①當t＝1時，M(1，)，

∴MP＝，CP＝OC－OP＝2.

在Rt△MPC中，CM＝＝＝BC，

∴四邊形BCMN為菱形；

②當t＝2時，M(2，2)，

∴MP＝2，CP＝1.

在Rt△MPC中，CM＝＝≠BC.

∴四邊形BCMN不是菱形．

綜上，當t＝1或t＝2時，四邊形BCMN為平行四邊形；當t＝1

時，平行四邊形BCMN為菱形．……………………………(9分)

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題