如圖,拋物線y=ax2+6x+c交x軸於A,B兩點,交y軸於點C.直線y=x﹣5經過點B,C.(1)求拋物線的...
問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2+6x+c交x軸於A,B兩點,交y軸於點C.直線y=x﹣5經過點B,C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點A的直線交直線BC於點M.
①當AM⊥BC時,過拋物線上一動點P(不與點B,C重合),作直線AM的平行線交直線BC於點Q,若以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求點P的橫座標;
②連接AC,當直線AM與直線BC的夾角等於∠ACB的2倍時,請直接寫出點M的座標.
【回答】
(1)拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5;(2)①P點的橫座標為4或或;②點M的座標為(,﹣)或(,﹣).
【解析】
分析:(1)利用一次函數解析式確定C(0,-5),B(5,0),然後利用待定係數法求拋物線解析式;
(2)①先解方程-x2+6x-5=0得A(1,0),再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,則△AMB為等腰直角三角形,所以AM=2,接着根據平行四邊形的*質得到PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x軸交直線BC於D,如圖1,利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4,設P(m,-m2+6m-5),則D(m,m-5),討論:當P點在直線BC上方時,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;當P點在直線BC下方時,PD=m-5-(-m2+6m-5),然後分別解方程即可得到P點的橫座標;
②作AN⊥BC於N,NH⊥x軸於H,作AC的垂直平分線交BC於M1,交AC於E,如圖2,利用等腰三角形的*質和三角形外角*質得到∠AM1B=2∠ACB,再確定N(3,-2),
AC的解析式為y=5x-5,E點座標為(,-),利用兩直線垂直的問題可設直線EM1的解析式為y=-x+b,把E(,-)代入求出b得到直線EM1的解析式為y=-x-,則解方程組得M1點的座標;作直線BC上作點M1關於N點的對稱點M2,如圖2,利用對稱*得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,設M2(x,x-5),根據中點座標公式得到3=,然後求出x即可得到M2的座標,從而得到滿足條件的點M的座標.
詳解:(1)當x=0時,y=x﹣5=﹣5,則C(0,﹣5),
當y=0時,x﹣5=0,解得x=5,則B(5,0),
把B(5,0),C(0,﹣5)代入y=ax2+6x+c得
,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5;
(2)①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1,x2=5,則A(1,0),
∵B(5,0),C(0,﹣5),
∴△OCB為等腰直角三角形,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∵AM⊥BC,
∴△AMB為等腰直角三角形,
∴AM=AB=×4=2,
∵以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,AM∥PQ,
∴PQ=AM=2,PQ⊥BC,
作PD⊥x軸交直線BC於D,如圖1,則∠PDQ=45°,
∴PD=PQ=×2=4,
設P(m,﹣m2+6m﹣5),則D(m,m﹣5),
當P點在直線BC上方時,
PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=﹣m2+5m=4,解得m1=1,m2=4,
當P點在直線BC下方時,
PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=m2﹣5m=4,解得m1=,m2=,
綜上所述,P點的橫座標為4或或;
②作AN⊥BC於N,NH⊥x軸於H,作AC的垂直平分線交BC於M1,交AC於E,如圖2,
∵M1A=M1C,
∴∠ACM1=∠CAM1,
∴∠AM1B=2∠ACB,
∵△ANB為等腰直角三角形,
∴AH=BH=NH=2,
∴N(3,﹣2),
易得AC的解析式為y=5x﹣5,E點座標為(,﹣,
設直線EM1的解析式為y=﹣x+b,
把E(,﹣)代入得﹣+b=﹣,解得b=﹣,
∴直線EM1的解析式為y=﹣x﹣
解方程組得,則M1(,﹣);
作直線BC上作點M1關於N點的對稱點M2,如圖2,則∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,
設M2(x,x﹣5),
∵3=
∴x=,
∴M2(,﹣).
綜上所述,點M的座標為(,﹣)或(,﹣).
點睛:本題考查了二次函數的綜合題:熟練掌握二次函數圖象上點的座標特徵、二次函數的*質、等腰直角的判定與*質和平行四邊形的*質;會利用待定係數法求函數解析式;理解座標與圖形*質;會運用分類討論的思想解決數學問題.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題