如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於點A(﹣1,0),B(5,0)兩點,直線y=﹣x+3與y軸交於點C,...
問題詳情:
如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於點A(﹣1,0),B(5,0)兩點,直線y=﹣x+3與y軸交於點C,與x軸交於點D.點P是x軸上方的拋物線上一動點,過點P作PF⊥x軸於點F,交直線CD於點E.設點P的橫座標為m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若點E′是點E關於直線PC的對稱點,是否存在點P,使點E′落在y軸上?若存在,請直接寫出相應的點P的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
【分析】(1)利用待定係數法求出拋物線的解析式;
(2)用含m的代數式分別表示出PE、EF,然後列方程求解;
(3)解題關鍵是識別出當四邊形PECE′是菱形,然後根據PE=CE的條件,列出方程求解;當四邊形PECE′是菱形不存在時,P點y軸上,即可得到點P座標.
【解答】方法一:
解:(1)將點A、B座標代入拋物線解析式,得:
,解得,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+4x+5.
(2)∵點P的橫座標為m,
∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣ m+3),F(m,0).
∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+3)|=|﹣m2+m+2|,
EF=|yE﹣yF|=|(﹣m+3)﹣0|=|﹣m+3|.
由題意,PE=5EF,即:|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|
①若﹣m2+m+2=m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,
解得:m=2或m=;
②若﹣m2+m+2=﹣(m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,
解得:m=或m=.
由題意,m的取值範圍為:﹣1<m<5,故m=、m=這兩個解均捨去.
∴m=2或m=.
(3)假設存在.
作出示意圖如下:
∵點E、E′關於直線PC對稱,
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行於y軸,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四邊形PECE′是菱形.
當四邊形PECE′是菱形存在時,
由直線CD解析式y=﹣x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
過點E作EM∥x軸,交y軸於點M,易得△CEM∽△CDO,
∴,即,解得CE=|m|,
∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+m+2|
∴|﹣m2+m+2|=|m|.
①若﹣m2+m+2=m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣;
②若﹣m2+m+2=﹣m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+,m2=3﹣.
由題意,m的取值範圍為:﹣1<m<5,故m=3+這個解捨去.
當四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時,
此時P點橫座標為0,E,C,E'三點重合與y軸上,菱形不存在.
綜上所述,存在滿足條件的點P,可求得點P座標為(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3)
方法二:
(1)略.
(2)略.
(3)若E關於直線PC的對稱點E′在y軸上,則直線CD與直線CE關於PC軸對稱.
∴點D關於直線PC的對稱點D′也在y軸上,
∴DD′⊥CP,∵y=﹣x+3,
∴D(4,0),CD=5,
∵OC=3,
∴OD′=8或OD′=2,
①當OD′=8時,D′(0,8),設P(t,﹣t2+4t+5),D(4,0),C(0,3),
∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD′=﹣1,
∴,
∴2t2﹣7t﹣4=0,
∴t1=4,t2=,
②當OD′=2時,D′(0,﹣2),
設P(t,﹣t2+4t+5),
∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD′=﹣1,
∴=﹣1,
∴t1=3+,t2=3﹣,
∵點P是x軸上方的拋物線上一動點,
∴﹣1<t<5,
∴點P的座標為(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3).
【點評】本題是二次函數壓軸題,綜合考查了二次函數與一次函數的圖象與*質、點的座標、待定係數法、菱形、相似三角形等多個知識點,重點考查了分類討論思想與方程思想的靈活運用.需要注意的是,為了避免漏解,表示線段長度的代數式均含有絕對值,解方程時需要分類討論、分別計算.
知識點:二次函數的圖象和*質
題型:解答題