如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交於C點，點P是拋物線...

問題詳情：

如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交於C點，點P是拋物線上在第一象限內的一個動點，且點P的橫座標為t．

（1）求拋物線的表達式；

（2）設拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點為D．在直線l上是否存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點M的座標；若不存在，請説明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設△PBC的面積為S．

①求S關於t的函數表達式；

②求P點到直線BC的距離的最大值，並求出此時點P的座標．

【回答】

【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

，解得：，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3．

（2）在圖1中，連接PC，交拋物線對稱軸l於點E，

∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1．

當t=2時，點C、P關於直線l對稱，此時存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形．

∵拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3，

∴點C的座標為（0，3），點P的座標為（2，3），

∴點M的座標為（1，6）；

當t≠2時，不存在，理由如下：

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE，

∵點C的橫座標為0，點E的橫座標為0，

∴點P的橫座標t=1×2﹣0=2．

又∵t≠2，

∴不存在．

（3）①在圖2中，過點P作PF∥y軸，交BC於點F．

設直線BC的解析式為y=mx+n（m≠0），

將B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

，解得：，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

∵點P的座標為（t，﹣t2+2t+3），

∴點F的座標為（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．

②∵﹣＜0，

∴當t=時，S取最大值，最大值為．

∵點B的座標為（3，0），點C的座標為（0，3），

∴線段BC==3，

∴P點到直線BC的距離的最大值為=，此時點P的座標為（，）．

【點評】本題考查了待定係數法求一次（二次）函數解析式、平行四邊形的判定與*質、三角形的面積、一次（二次）函數圖象上點的座標特徵以及二次函數的*質，解題的關鍵是：（1）由點的座標，利用待定係數法求出拋物線表達式；（2）分t=2和t≠2兩種情況考慮；（3）①利用三角形的面積公式找出S關於t的函數表達式；②利用二次函數的*質結合面積法求出P點到直線BC的距離的最大值．

知識點：各地中考

題型：綜合題