已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交於A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交於點C．（1）求拋物線的...

問題詳情：

已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交於A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交於點 C．

（1）求拋物線的表達式及頂點D的座標；

（2）點F是線段AD上一個動點．

①如圖1，設k＝，當k為何值時，CF＝AD？

②如圖2，以A，F，O為頂點的三角形是否與△ABC相似？若相似，求出點F的座標；若不相似，請説明理由．

【回答】

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點A（﹣3，0），B（1，0），

∴，解得：，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4

∴頂點D的座標為（﹣1，4）；

（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，

∴AC2＝OA2+OC2＝18，

∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），

∴CD2＝12+12＝2

∴AD2＝22+42＝20

∴AC2+CD2＝AD2

∴△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°．

∵，

∴F為AD的中點，

∴，

∴．

②在Rt△ACD中，tan，

在Rt△OBC中，tan，

∴∠ACD＝∠OCB，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠FAO＝∠ACB，

若以A，F，O為頂點的三角形與△ABC相似，則可分兩種情況考慮：

當∠AOF＝∠ABC時，△AOF∽△CBA，

∴OF∥BC，

設直線BC的解析式為y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣3x+3，

∴直線OF的解析式為y＝﹣3x，

設直線AD的解析式為y＝mx+n，

∴，解得：，

∴直線AD的解析式為y＝2x+6，

∴，解得：，

∴F（﹣）．

當∠AOF＝∠CAB＝45°時，△AOF∽△CAB，

∵∠CAB＝45°，

∴OF⊥AC，

∴直線OF的解析式為y＝﹣x，

∴，解得：，

∴F（﹣2，2）．

綜合以上可得F點的座標為（﹣）或（﹣2，2）．

知識點：相似三角形

題型：綜合題