已知拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸於點A（6，0）和點B（﹣1，0），交y軸於點C．（1）求拋物線...

問題詳情：

已知拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸於點A（6，0）和點B（﹣1，0），交y軸於點C．

（1）求拋物線的解析式和頂點座標；

（2）如圖（1），點P是拋物線上位於直線AC上方的動點，過點P分別作x軸，y軸的平行線，交直線AC於點D，E，當PD+PE取最大值時，求點P的座標；

（3）如圖（2），點M為拋物線對稱軸l上一點，點N為拋物線上一點，當直線AC垂直平分△AMN的邊MN時，求點N的座標．

【回答】

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6經過點A（6，0），B（﹣1，0），

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6，頂點座標為（，）；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6，

∴C（0，6），

∴OC＝6，

∵A（6，0），

∴OA＝6，

∴OA＝OC，

∴∠OAC＝45°，

∵PD平行於x軸，PE平行於y軸，

∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，

∴∠PED＝45°，

∴∠PDE＝∠PED，

∴PD＝PE，

∴PD+PE＝2PE，

∴當PE的長度最大時，PE+PD取最大值，

∵A（6，0），C（0，6），

∴直線AC的解析式為y＝﹣x+6，

設E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），則P（t，﹣t2+5t+6），

∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，

當t＝3時，PE最大，此時，﹣t2+5t+6＝12，

∴P（3，12）；

（3）如圖（2），設直線AC與拋物線的對稱軸l的交點為F，連接NF，

∵點F在線段MN的垂直平分線AC上，

∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，

∵l∥y軸，

∴∠MFC＝∠OCA＝45°，

∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，

∴NF∥x軸，

由（2）知，直線AC的解析式為y＝﹣x+6，

當x＝時，y＝，

∴F（，），

∴點N的縱座標為，

設N的座標為（m，﹣m2+5m+6），

∴﹣m2+5m+6＝，解得，m＝或m＝，

∴點N的座標為（，）或（，）．

【分析】（1）將點A，B座標代入拋物線解析式中，解方程組即可得出結論；

（2）先求出OA＝OC＝6，進而得出∠OAC＝45°，進而判斷出PD＝PE，即可得出當PE的長度最大時，PE+PD取最大值，設出點E座標，表示出點P座標，建立PE＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，即可得出結論；

（3）先判斷出NF∥x軸，進而求出點N的縱座標，即可建立方程求解得出結論．

知識點：各地中考

題型：綜合題