已知拋物線y=﹣+bx+c與y軸交於點C，與x軸的兩個交點分別為A（﹣4，0），B（1，0）．（1）求拋物線的...
問題詳情：
已知拋物線y=﹣
+bx+c與y軸交於點C，與x軸的兩個交點分別為A（﹣4，0），B（1， 0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點P的座標；
（4）已知點E在x軸上，點F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的座標；若不存在，請説明理由．
【回答】
分析：（1）因為拋物線經過點A（﹣4，0），B（1，0），所以可以設拋物線為y=﹣
（x+4）（x﹣1），展開即可解決問題．
（2）先*∠ACB=90°，點A就是所求的點P，求出直線AC解析式，再求出過點B平行AC的直線的解析式，利用方程組即可解決問題．
（3）分AC為平行四邊形的邊，AC為平行四邊形的對角線兩種切線討論即可解決問題．
解：（1）拋物線的解析式為y=﹣
（x+4）（x﹣1），即y=﹣
x2﹣
x+2；
（2）存在．
當x=0，y═﹣
x2﹣
x+2=2，則C（0，2），
∴OC=2，
∵A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA=4，OB=1，AB=5，
當∠PCB=90°時，
∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴當點P與點A重合時，△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，此時P點座標為（﹣4，0）；
當∠PBC=90°時，PB∥AC，如圖1，
設直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（﹣4，0），C（0，2）代入得
，解得
，
∴直線AC的解析式為y=
x+2，
∵BP∥AC，
∴直線BP的解析式為y=
x+p，
把B（1，0）代入得
+p=0，解得p=﹣
，
∴直線BP的解析式為y=
x﹣
，
解方程組
得
或
，此時P點座標為（﹣5，﹣3）；
綜上所述，滿足條件的P點座標為（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；
（3）存在點E，設點E座標為（m，0），F（n，﹣
n2﹣
n+2）
①當AC為邊，CF1∥AE1，易知CF1=3，此時E1座標（﹣7，0），
②當AC為邊時，AC∥EF，易知點F縱座標為﹣2，
∴﹣
n2﹣
n+2=﹣2，解得n=
，得到F2（
，﹣2），F3（
，﹣2），
根據中點座標公式得到：
=
或
=
，
解得m=
或
，
此時E2（
，0），E3（
，0），
③當AC為對角線時，AE4=CF1=3，此時E4（﹣1，0），
綜上所述滿足條件的點E為（﹣7，0）或（﹣1，0）或（
，﹣2）或（
，﹣2）．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
