如圖，頂點為M的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交於A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交於點C．（1）求...

問題詳情：

如圖，頂點為M的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交於A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交於點C．

（1）求這條拋物線對應的函數表達式；

（2）問在y軸上是否存在一點P，使得△PAM為直角三角形？若存在，求出點P的座標；若不存在，説明理由．

（3）若在第一象限的拋物線下方有一動點D，滿足DA＝OA，過D作DG⊥x軸於點G，設△ADG的內心為I，試求CI的最小值．

【回答】

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點A（3，0），B（﹣1，0）

∴   解得：

∴這條拋物線對應的函數表達式為y＝﹣x2+2x+3

（2）在y軸上存在點P，使得△PAM為直角三角形．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4

∴頂點M（1，4）

∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20

設點P座標為（0，p）

∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2

①若∠PAM＝90°，則AM2+AP2＝MP2

∴20+9+p2＝17﹣8p+p2

解得：p＝﹣

∴P（0，﹣）

②若∠APM＝90°，則AP2+MP2＝AM2

∴9+p2+17﹣8p+p2＝20

解得：p1＝1，p2＝3

∴P（0，1）或（0，3）

③若∠AMP＝90°，則AM2+MP2＝AP2

∴20+17﹣8p+p2＝9+p2

解得：p＝

∴P（0，）

綜上所述，點P座標為（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）時，△PAM為直角三角形．

（3）如圖，過點I作IE⊥x軸於點E，IF⊥AD於點F，IH⊥DG於點H

∵DG⊥x軸於點G

∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°

∴四邊形IEGH是矩形

∵點I為△ADG的內心

∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG

∴矩形IEGH是正方形

設點I座標為（m，n）

∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n

∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m

∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m

∵DA＝OA＝3

∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m

∴DG＝DH+HG＝m+n

∵DG2+AG2＝DA2

∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32

∴化簡得：m2﹣3m+n2+3n＝0

*得：（m﹣）2+（n+）2＝

∴點I（m，n）與定點Q（，﹣）的距離為

∴點I在以點Q（，﹣）為圓心，半徑為的圓在第一象限的弧上運動

∴當點I在線段CQ上時，CI最小

∵CQ＝

∴CI＝CQ﹣IQ＝

∴CI最小值為．

知識點：各地中考

題型：綜合題