已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交於A（1，0），B（3，0），與y軸交於C（0，﹣2），頂點為D，點E的...
問題詳情：
已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交於A（1，0），B（3，0），與y軸交於C（0，﹣2），頂點為D，點E的座標為（0，﹣1），該拋物線於BE交於另一點F，連接BC
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點H（1，y）在BC上，連接FH，求△FHB的面積；
（3）一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度沿平行於y軸方向向上運動，連接OM，BM，設運動時間為t秒（t＞0），點M在運動過程中，當t為何值時，∠OMB=90°？
（4）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得∠PBF被BA平分？若存在，直接寫出點P的座標；若不存在，請説明利由．
【回答】
【考點】HF：二次函數綜合題．
【分析】（1）設交點式拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣3），然後把C點座標代入求出a即可得到拋物線解析式；
（2）先利用待定係數法求出直線BE的解析式為y=
x﹣1，直線BC的解析式為y=
x﹣2，再解方程組
得F（
，﹣
）；接着確定H（1，﹣
），連接AH交BE於Q，如圖1，利用點A和H的橫座標特徵得到AH⊥x軸，所以Q（1，﹣
），然後利用三角形面積公式，利用S△FHB=S△BHQ+S△FHQ進行計算；
（3）先求出D（2，
），直線x=2交x軸於N，如圖2，*Rt△OMN∽Rt△MBN得到MN2=BN•ON，即（t+
）2=1×2，然後解方程即可；
（4）如圖3，BP交y軸於G，利用AB平分∠FBP得到點G與點E關於x軸對稱，則G（0，1），再利用待定係數法求出直線BQ的解析式為y=﹣
x+1，然後解方程組
即可得到P點座標．
【解答】解：（1）設拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣3），
把C（0，﹣2）代入得a•（﹣1）•（﹣3）=﹣2，解得a=﹣
，
所以拋物線解析式為y=﹣
（x﹣1）（x﹣3），即y=﹣
x2+
x﹣2；
（2）設直線BE的解析式為y=mx+n，
把B（3，0），E（0，﹣1）代入得
，解得
，
∴直線BE的解析式為y=
x﹣1，
同樣方法可求得直線BC的解析式為y=
x﹣2，
解方程組
得
或
，則F（
，﹣
）；
當x=1時，y=﹣2=﹣
，則H（1，﹣），
連接AH交BE於Q，如圖1，∵A（1，0），H（1，﹣
），
∴AH⊥x軸，
∴Q（1，﹣），
∴HQ=﹣+=，
∴S△FHB=S△BHQ+S△FHQ=
×
×（3﹣
）=
；
（3）當x=2時，y=﹣x2+
x﹣2=
，則D（2，
），
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
直線x=2交x軸於N，如圖2，MN=t+
，ON=2，BN=1，
∵∠OMB=90°，即∠OMN+∠BMN=90°，
而∠OMN+∠MON=90°，
∴∠MON=∠BMN，
∴Rt△OMN∽Rt△MBN，
∴MN：BN=ON：MN，即MN2=BN•ON，
∴（t+
）2=1×2，解得t1=
﹣，t2=﹣
﹣（捨去），
∴當t為
﹣時，∠OMB=90°；
（4）存在．
如圖3，BP交y軸於G，
∵AB平分∠FBP，
∴∠GBO=∠EOB，
∴點G與點E關於x軸對稱，
∴G（0，1），
設直線BG的解析式為y=px+q，
把G（0，1），B（3，0）代入得
，解得
，
∴直線BQ的解析式為y=﹣
x+1，
解方程組
得
或
，
∴P點座標為（
，
）．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
