如圖,拋物線y=ax2﹣2x+c(a≠0)與x軸、y軸分別交於點A,B,C三點,已知點A(﹣2,0),點C(0...
問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2﹣2x+c(a≠0)與x軸、y軸分別交於點A,B,C三點,已知點A(﹣2,0),點C(0,﹣8),點D是拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式及頂點D的座標;
(2)如圖1,拋物線的對稱軸與x軸交於點E,第四象限的拋物線上有一點P,將△EBP沿直線EP摺疊,使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上,求點P的座標;
(3)如圖2,設BC交拋物線的對稱軸於點F,作直線CD,點M是直線CD上的動點,點N是平面內一點,當以點B,F,M,N為頂點的四邊形是菱形時,請直接寫出點M的座標.
【回答】
【解答】解:(1)將點A、點C的座標代入拋物線的解析式得:,
解得:a=1,c=﹣8.
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8.
∵y=(x﹣1)2﹣9,
∴D(1,﹣9).
(2)將y=0代入拋物線的解析式得:x2﹣2x﹣8=0,解得x=4或x=﹣2,
∴B(4,0).
∵y=(x﹣1)2﹣9,
∴拋物線的對稱軸為x=1,
∴E(1,0).
∵將△EBP沿直線EP摺疊,使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上,
∴EP為∠BEF的角平分線.
∴∠BEP=45°.
設直線EP的解析式為y=﹣x+b,將點E的座標代入得:﹣1+b=0,解得b=1,
∴直線EP的解析式為y=﹣x+1.
將y=﹣x+1代入拋物線的解析式得:﹣x+1=x2﹣2x﹣8,解得:x=或x=.
∵點P在第四象限,[來源:學&科&網]
∴x=.
∴y=.
∴P(,).
(3)設CD的解析式為y=kx﹣8,將點D的座標代入得:k﹣8=﹣9,解得k=﹣1,
∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8.
設直線CB的解析式為y=k2x﹣8,將點B的座標代入得:4k2﹣8=0,解得:k2=2.
∴直線BC的解析式為y=2x﹣8.
將x=1代入直線BC的解析式得:y=﹣6,
∴F(1,﹣6).
設點M的座標為(a,﹣a﹣8).
當MF=MB時,(a﹣4)2+(a+8)2=(a﹣1)2+(a+2)2,整理得:6a=﹣75,解得:a=﹣.
∴點M的座標為(﹣,).
當FM=FB時,(a﹣1)2+(a+2)2=(4﹣1)2+(﹣6﹣0)2,整理得:a2+a﹣20=0,解得:a=4或a=﹣5.
∴點M的座標為(4,﹣12)或(﹣5,﹣3).
綜上所述,點M的座標為(﹣,)或(4,﹣12)或(﹣5,﹣3).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題