如圖，已知拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關於x軸對稱，點P是x軸上的一...

問題詳情：

如圖，已知拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關於x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的座標為（m，0），過點P做x軸的垂線l交拋物線於點Q，交直線BD於點M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數的表達式；

（2）已知點F（0，），當點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？

（3）點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）由拋物線過點A（﹣1，0）、B（4，0）可設解析式為y=a（x+1）（x﹣4），

將點C（0，2）代入，得：﹣4a=2，

解得：a=﹣，

則拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；

（2）由題意知點D座標為（0，﹣2），

設直線BD解析式為y=kx+b，

將B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，

解得：，

∴直線BD解析式為y=x﹣2，

∵QM⊥x軸，P（m，0），

∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m， m﹣2），

則QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，

∵F（0，）、D（0，﹣2），

∴DF=，

∵QM∥DF，

∴當﹣m2+m+4=時，四邊形DMQF是平行四邊形，

解得：m=﹣1或m=3，

即m=﹣1或m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形；

（3）如圖所示：

∵QM∥DF，

∴∠ODB=∠QMB，

分以下兩種情況：

①當∠DOB=∠MBQ=90°時，△DOB∽△MBQ，

則===，

∵∠MBQ=90°，

∴∠MBP+∠PBQ=90°，

∵∠MPB=∠BPQ=90°，

∴∠MBP+∠BMP=90°，

∴∠BMP=∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴=，即=，

解得：m1=3、m2=4，

當m=4時，點P、Q、M均與點B重合，不能構成三角形，捨去，

∴m=3，點Q的座標為（3，2）；

②當∠BQM=90°時，此時點Q與點A重合，△BOD∽△BQM′，

此時m=﹣1，點Q的座標為（﹣1，0）；

綜上，點Q的座標為（3，2）或（﹣1，0）時，以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似． 

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題