如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點M關於x軸的對稱點是M′．（1）...

來源：國語幫 1.56W

問題詳情：

如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點M關於x軸的對稱點是M′．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C，求△CAB的面積；

（3）是否存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關於x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請説明理由．

【回答】

（1）解：將A、B點座標代入函數解析式，得，解得，拋物線的解析式y=x2﹣2x﹣3 （2）解：將拋物線的解析式化為頂點式，得 y=（x﹣1）2﹣4， M點的座標為（1，﹣4）， M′點的座標為（1，4），設AM′的解析式為y=kx+b，將A、M′點的座標代入，得，解得， AM′的解析式為y=2x+2，聯立AM′與拋物線，得，解得， C點座標為（5，12）． S△ABC= ×4×12=24 （3）解：存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關於x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形，由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得 P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2）， ①當頂點P（1，﹣2）時，設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，將A點座標代入函數解析式，得 a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a= ，拋物線的解析式為y= （x﹣1）2﹣2， ②當P（1，2）時，設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+2，將 A點座標代入函數解析式，得 a（﹣1﹣1）2+2=0，解得a=﹣ ，拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣1）2+2，綜上所述：y= （x﹣1）2﹣2或y=﹣ （x﹣1）2+2，使得四邊形APBQ為正方形．【考點】待定係數法求一次函數解析式，待定係數法求二次函數解析式，正方形的*質，關於x軸、y軸對稱的點的座標，二次函數與一次函數的交點問題【解析】【分析】（1）根據待定係數法，將A、B點座標代入函數解析式，即可求解。（2）先求出頂點座標，根據軸對稱的*質，可求得點M′的座標，再求出直線AM′的解析式，再將兩函數解析式聯立，建立方程組，求解即可求出點C的座標，然後求出△ABC的面積。（3）根據正方形的*質，求得P、Q兩點的座標，根據待定係數法，可得函數解析式。