如圖，對稱軸為直線x=1的拋物線y=x2﹣bx+c與x軸交於A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）兩點，...
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問題詳情：
如圖，對稱軸為直線x=1的拋物線y=x2﹣bx+c與x軸交於A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）兩點，與y軸交於C點，且
+
=﹣
．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線頂點為D，直線BD交y軸於E點；
①設點P為線段BD上一點（點P不與B、D兩點重合），過點P作x軸的垂線與拋物線交於點F，求△BDF面積的最大值；
②在線段BD上是否存在點Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出點Q的座標；若不存在，請説明理由．
【回答】
解：（1）∵拋物線對稱軸為直線x=1
∴﹣
∴b=2
由一元二次方程根與係數關係：
x1+x2=﹣
，x1x2=
∴
+
=
=﹣
∴﹣
則c=﹣3
∴拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3
（2）由（1）點D座標為（1，﹣4）
當y=0時，x2﹣2x﹣3=0
解得x1=﹣1，x2=3
∴點B座標為（3，0）
①設點F座標為（a，b）
∴△BDF的面積S=
×（4﹣b）（a﹣1）+
（﹣b）（3﹣a）﹣
×2×4
整理的S=2a﹣b﹣6
∵b=a2﹣2a﹣3
∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3
∵a=﹣1＜0
∴當a=2時，S最大=﹣4+8﹣3=1
②存在
由已知點D座標為（1，﹣4），點B座標為（3，0）
∴直線BD解析式為：y=2x﹣6
則點E座標為（0，﹣6）
連BC、CD，則由勾股定理
CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18
CD2=12+（﹣4+3）2=2
BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20
∴CB2+CD2=BD2
∴∠BDC=90°
∵∠BDC=∠QCE
∴∠QCE=90°
∴點Q縱座標為﹣3
代入﹣3=2x﹣6
∴x=
∴存在點Q座標為（
，﹣3）
知識點：各地中考
題型：綜合題
