在平面直角座標系xOy中,拋物線y=mx2﹣8mx+16m﹣1(m>0)與x軸的交點分別為A(x1,0),B(...
問題詳情:
在平面直角座標系xOy中,拋物線y=mx2﹣8mx+16m﹣1(m>0)與x軸的交點分別為A(x1,0),B(x2,0).
(1)求*:拋物線總與x軸有兩個不同的交點;
(2)若AB=2,求此拋物線的解析式.
(3)已知x軸上兩點C(2,0),D(5,0),若拋物線y=mx2﹣8mx+16m﹣1(m>0)與線段CD有交點,請寫出m的取值範圍.
【回答】
【考點】拋物線與x軸的交點;待定係數法求二次函數解析式.
【專題】計算題.
【分析】(1)*△>0即可;
(2)利用拋物線與x軸的交點問題,則x1、x2為方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的兩根,利用根與係數的關係得到x1+x2=8,x1•x2=,再變形|x1﹣x2|=2得到(x1+x2)2﹣4x1•x2=4,所以82﹣4•=4,然後解出m即可得到拋物線解析式;
(3)先求出拋物線的對稱軸為直線x=4,利用函數圖象,由於拋物線開口向上,則只要當x=2,y≥0時,拋物線與線段CD有交點,於是得到4m﹣16m+16m﹣1≥0,然後解不等式即可.
【解答】(1)*:△=64m2﹣4m•(16m﹣1)
=4m,
∵m>0,
∴△>0,
∴拋物線總與x軸有兩個不同的交點;
(2)根據題意,x1、x2為方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的兩根,
∴x1+x2=﹣=8,x1•x2=,
∵|x1﹣x2|=2,
∴(x1+x2)2﹣4x1•x2=4,
∴82﹣4•=4,
∴m=1,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣8x+15;
(3)拋物線的對稱軸為直線x=﹣=4,
∵拋物線開口向上,
∴當x=2,y≥0時,拋物線與線段CD有交點,
∴4m﹣16m+16m﹣1≥0,
∴m≥.
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點:把求二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)與x軸的交點座標問題轉化為解關於x的一元二次方程.也考查了根與係數的關係.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題