在平面直角座標系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點分別為A(﹣3,0)、B(1,0),過頂點C作C...
問題詳情:
在平面直角座標系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點分別為A(﹣3,0)、B(1,0),過頂點C作CH⊥x軸於點H.
(1)直接填寫:a= ,b= ,頂點C的座標為 ;
(2)在y軸上是否存在點D,使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形?若存在,求出點D的座標;若不存在,説明理由;
(3)若點P為x軸上方的拋物線上一動點(點P與頂點C不重合),PQ⊥AC於點Q,當△PCQ與△ACH相似時,求點P的座標.
【回答】
【解答】解:(1)a=﹣1,b=﹣2,頂點C的座標為(﹣1,4);
(2)假設在y軸上存在滿足條件的點D,過點C作CE⊥y軸於點E.
由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°.又∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠1.又∵∠CED=∠DOA=90°,
∴△CED∽△DOA,∴.
設D(0,c),則.變形得c2﹣4c+3=0,解之得c1=3,c2=1.
綜合上述:在y軸上存在點D(0,3)或(0,1),
使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形.
(3)①若點P在對稱軸右側(如圖①),只能是△PCQ∽△CAH,得∠QCP=∠CAH.
延長CP交x軸於M,∴AM=CM,∴AM2=CM2.
設M(m,0),則(m+3)2=42+(m+1)2,∴m=2,即M(2,0).
設直線CM的解析式為y=k1x+b1,
則,解之得,.
∴直線CM的解析式.
聯立,解之得或(捨去).
∴.
②若點P在對稱軸左側(如圖②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH.
過A作CA的垂線交PC於點F,作FN⊥x軸於點N.
由△CFA∽△CAH得,
由△FNA∽△AHC得.
∴AN=2,FN=1,CH=4,HO=1,則AH=2,
∴點F座標為(﹣5,1).
設直線CF的解析式為y=k2x+b2,則,
解之得.
∴直線CF的解析式.
聯立,解之得或(捨去).
∴.
∴滿足條件的點P座標為或.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題