如圖，在平面直角座標系中，已知拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，已知拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交於點C，連接BC．

（1）求該拋物線的解析式，並寫出它的對稱軸；

（2）點D為拋物線對稱軸上一點，連接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求點D的座標；

（3）已知F（1，1），若E（x，y）是拋物線上一個動點（其中1＜x＜2），連接CE、CF、EF，求△CEF面積的最大值及此時點E的座標．

（4）若點N為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點M，使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）將點A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，

可得a＝﹣，b＝，

∴y＝﹣x2+x+2；

∴對稱軸x＝1；

（2）如圖1：過點D作DG⊥y軸於G，作DH⊥x軸於H，

設點D（1，y），

∵C（0，2），B（3，0），

∴在Rt△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1，

∴在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2，

在△BCD中，∵∠DCB＝∠CBD，

∴CD＝BD，

∴CD2＝BD2，

∴（2﹣y）2+1＝4+y2，

∴y＝，

∴D（1，）；

（3）如圖2：過點E作EQ⊥y軸於點Q，過點F作直線FR⊥y軸於R，過點E作FP⊥FR於P，

∴∠EQR＝∠QRP＝∠RPE＝90°，

∴四邊形QRPE是矩形，

∵S△CEF＝S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP，

∵E（x，y），C（0，2），F（1，1），

∴S△CEF＝EQ•QR﹣×EQ•QC﹣CR•RF﹣FP•EP，

∴S△CEF＝x（y﹣1）﹣x（y﹣2）﹣×1×1﹣（x﹣1）（y﹣1），

∵y＝﹣x2+x+2，

∴S△CEF＝﹣x2+x，

∴當x＝時，面積有最大值是，

此時E（，）；

（4）存在點M使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，

設N（1，n），M（x，y），

①四邊形CMNB是平行四邊形時，

＝，

∴x＝﹣2，

∴M（﹣2，﹣）；

②四邊形CNBM時平行四邊形時，

＝，

∴x＝2，

∴M（2，2）；

③四邊形CNNB時平行四邊形時，

＝，

∴x＝4，

∴M（4，﹣）；

綜上所述：M（2，2）或M（4，﹣）或M（﹣2，﹣）；

知識點：各地中考

題型：綜合題