已知在平面直角座標系xOy中,直線l別交x軸和y軸於點A(-3,0),B(0,3).(1)如圖1,已知⊙P經過...
問題詳情:
已知在平面直角座標系xOy中,直線l別交x軸和y軸於點A(-3,0),B(0,3).
(1)如圖1,已知⊙P經過點O,且與直線l1相切於點B,求⊙P的直徑長;
(2)如圖2,已知直線l2:y=3x-別交x軸和y軸於點C和點D,點Q是直線l2上的一個動點,以Q為圓心,2為半徑畫圓.
①當點Q與點C重合時,求*:直線l1與⊙Q相切;
②設⊙Q與直線l1相交於M,N兩點,連結QM,QN.問:是否存在這樣的點Q,使得△QMN是等腰直角三角形,若存在,求出點Q的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1);(2)①見解析;②(,)或(,).
【解析】
(1)*△ABC為等腰直角三角形,則⊙P的直徑長=BC=AB,即可求解;
(2)*圓的半徑,即可求解;
(3)分點M、N在兩條直線交點的下方、點M、N在兩條直線交點的上方兩種情況,分別求解即可.
【詳解】
解:(1)如圖1,連接BC,
∵∠BOC=90°,∴點P在BC上,
∵⊙P與直線l1相切於點B,
∴∠ABC=90°,而OA=OB,
∴△ABC為等腰直角三角形,
則⊙P的直徑長=BC=AB=;
(2)①過點作CM⊥AB,
由直線l2:y=3x-3得:點C(1,0),
則圓的半徑,
故點M是圓與直線l1的切點,
即:直線l1與⊙Q相切;
②如圖3,
當點M、N在兩條直線交點的下方時,
由題意得:MQ=NQ,∠MQN=90°,
設點Q的座標為(m,3m-3),則點N(m,m+3),
則,
解得:;
當點M、N在兩條直線交點的上方時,
同理可得:;
故點Q的座標為(,)或(,).
【點睛】
本題為圓的綜合運用題,涉及到一次函數、圓的切線*質等知識點,關鍵要確定圓的位置,分類求解,避免遺漏.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題