如圖1，在平面直角座標系中，O為座標原點，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為（﹣3，），與x軸交於A...

問題詳情：

如圖1，在平面直角座標系中，O為座標原點，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為（﹣3，），與x軸交於A，B兩點（點A在點B的右側）與y軸交於點C，D為BO的中點，直線DC解析式為y=kx+4（k≠0）

（1）求拋物線的解析式和直線CD的解析式．

（2）點P是拋物線第二象限部分上使得△PDC面積最大的一點，點E為DO的中點，F是線段DC上任意一點（不含端點）．連接EF，一動點M從點E出發沿線段EF以每秒1個單位長度的速度運動到F點，在沿線段FC以每秒個單位長度的速度運動到C點停止．當點M在整個運動中同時最少為t秒時，求線段PF的長及t值．

（3）如圖2，直線DN：y=mx+2（m≠0）經過點D，交y軸於點N，點R是已知拋物線上一動點，過點R作直線DN的垂線RH，垂足為H，直線RH交x軸與點Q，當∠DRH=∠ACO時，求點Q的座標．

【回答】

．解：（1）由題意拋物線頂點（﹣3，），點C座標（0，4），

設拋物線解析式y=a（x+3）2+，把點C（0，4）代入得a=﹣，

所以拋物線為y=﹣（x+3）2+=﹣x2﹣x+4，

令y=0，得x2+6x﹣16=0，x=﹣8或2，所以點B（﹣8，0），點A（2，0），D（﹣4，0）

把點D（﹣4，0）代入y=kx+4中得k=1，所以直線CD解析式為y=x+4．

（2）如圖1中，過點C作y軸的垂線，過點E作x軸的垂線兩線交於點M，EM與CD交於點F，

此時點F就是所求的點，時間最短．

∵OC=OD=4，

∴∠DCO=45°，

∴∠MCF=90°﹣∠DCO=45°，

∵∠MCO=∠MEO=∠EOC=90°，

∴四邊形MEOC是矩形，

∴∠EMC=90°，

∴∠MFC=∠MCF=45°，∴FC=FM，

∵t=EF+=EF+FM，∴EM⊥CM時，時間最短，∴t=4秒．

設點P（m，﹣﹣m+4），

∵S△PCD=S△PDO+S△PCO﹣S△DCO=×﹣8=﹣m2﹣5m，

∴m=﹣5時，△PCD面積最大，此時P（﹣5，），∵點F（﹣2，2），

∴PF==，

（3）如圖2中，①當∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO，

∵點N（0，2），D（﹣4，0），C（0，4），A（2，0），

∴直線DN為y=x+2，直線AC為y=﹣2x+4，∴K1K2=﹣1，

∴AC⊥DN，

∴∠ACO=∠ODN，

∴∠DNO=∠OAC，

∵∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO，

∴∠MDN=∠MND，

∴MN=DM，設OM=x，則（x+2）2=x2+42解得x=3，

∴點M（0，﹣3），直線DM為y=﹣x﹣3，

由解得，∴R1（﹣7，），R2（4，﹣6），

∴直線R1H1為y=﹣2x﹣，此時Q1（﹣，0），直線R2H2為y=﹣2x+2，此時Q2（1.0），

②當∠DR3H3=∠ACO時，∵R3Q3⊥DC，AC⊥DC，∴∠R3DH3=∠CNK，∴DR3∥OC，

∴R3（﹣4，6），直線R3Q3為y=﹣2x﹣2，∴Q3（﹣1，0）．

綜上所述滿足條件的點Q的座標為Q1（﹣，0），Q2（1.0），Q3（﹣1，0）．

知識點：二次函數單元測試

題型：綜合題