如圖,在平面直角座標系xOy中,O為座標原點,直線y=－x＋4與x軸交於點A,與y軸交於點B.(Ⅰ)求點A,B...
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問題詳情：
如圖,在平面直角座標系xOy中,O為座標原點,直線y=－x＋4與x軸交於點A,與y軸交於點B. (Ⅰ)求點A,B的座標; (Ⅱ)在直線AB上是否存在點P,使△OAP是以OA為底邊的等腰三角形？若存在,求出點P的座標;若不存在,請説明理由. (Ⅲ)若將Rt△AOB摺疊,使OB邊落在AB上,點O與點D重合,摺痕為BC,求摺痕BC所在直線的解析式. 
第1題圖
【回答】
解:(Ⅰ)在y=－x＋4中,令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4, ∴A(4,0),B(0,4); (Ⅱ)如解圖①,作線段OA的垂直平分線,交x軸於點E,交AB於點P, 則OP=PA,即P點即為滿足條件的點, ∵OA=4, ∴OE=2, 在y=－x＋4中,當x=2時,可得y=2, ∴P點座標為(2,2); (Ⅲ)如解圖②, 設C(t,0),則AC=OA－OC=4－t, ∵OA=OB=4, ∴AB=4
, 由摺疊的*質可得BD=OB=4,CD=OC=t,∠ADC=∠BOC=90°, ∴AD=AB－BD=4
－4, 在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC2=AD2＋CD2,即(4－t)2=t2＋(4
－4)2,解得t=4
－4, ∴C(4－4,0), 設直線BC解析式為y=kx＋b, ∴
,
解得
, ∴摺痕BC的解析式為y=－(1＋
)x＋4.
圖① 圖②
第1題解圖
知識點：勾股定理
題型：解答題
