.如圖，在平面直角座標系中，O為座標原點，直線y=﹣x﹣3與x軸交於點A，與y軸交於點C，拋物線y=x2+bx...

來源：國語幫 1.06W

問題詳情：

.如圖，在平面直角座標系中，O為座標原點，直線y=﹣x﹣3與x軸交於點A，與y軸交於點C，拋物線y=x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸交於另一點B

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D是第二象限拋物線上的一個動點，連接AD、BD、CD，當S△ACD= S四邊形ACBD時，求D點座標；

（3）在（2）的條件下，連接BC，過點D作DE⊥BC，交CB的延長線於點E，點P是第三象限拋物線上的一個動點，點P關於點B的對稱點為點Q，連接QE，延長QE與拋物線在A、D之間的部分交於一點F，當∠DEF+∠BPC=∠DBE時，求EF的長．

【回答】

（1）解：∵令x=0得：y=﹣3， ∴C（0，﹣3）．令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3， ∴A（﹣3，0）．將A、C兩點的座標代入拋物線的解析式的：，解得：． ∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3 （2）解：如圖1所示：令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1． ∴AB=4． ∵S△ACD= S四邊形ACBD ， ∴S△ADC：S△DCB=3：5． ∴AE：EB=3：5． ∴AE=4× = ． ∴點E的座標為（﹣ ，0）．設EC的解析式為y=kx+b，將點C和點E的座標代入得：，解得：k=﹣2，b=﹣3． ∴直線CE的解析式為y=﹣2x﹣3．將y=﹣2x﹣3與y=x2+2x﹣3聯立，解得：x=﹣4或x=0（捨去），將x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5． ∴點D的座標為（﹣4，5）（3）解：如圖2所示：過點D作DN⊥x軸，垂足為N，過點P作PM⊥x軸，垂足為M．設直線BC的解析式為y=kx+b，將點C和點B的座標代入得：，解得：k=3，b=﹣3． ∴直線BC的解析式為y=3x﹣3．設直線DE的解析式為y=﹣ x+n，將點D的座標代入得：﹣ ×（﹣4）+n=5，解得n=5﹣ = ． ∴直線DE的解析式為y=﹣ x+ ．將y=3x﹣3與y=﹣ x+ 聯立解得：x=2，y=3． ∴點E座標為（2，3）．依據兩點間的距離公式可知：BC=CE= ． ∵點P與點Q關於點B對稱， ∴PB=BQ．在△PCB和△QEB中， ∴△PCB≌△QEB． ∴∠BPC=∠Q．又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG ∴∠DBE=∠DGB．又∵∠DBE+∠BDE=90°， ∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°． ∵D（﹣4，5），B（1，0）， ∴DM=NB． ∴∠DBN=45°． ∴∠PBM=45°． ∴PM=MB 設點P的座標為（a，a2+2a﹣3），則BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3． ∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（捨去）． ∴點P的座標為（﹣2，3）． ∴PC∥x軸． ∵∠Q=∠BPC， ∴EQ∥PC． ∴點E與點F的縱座標相同．將y=3代入拋物線的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ （捨去）． ∴點F的座標為（﹣1 ，3）． ∴EF=2﹣（﹣1﹣ ）=3+