在平面直角座標系XOY中,拋物線y=ax2+bx+4經過A(﹣3,0)、B(4,0)兩點,且與y軸交於點C,點...
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問題詳情:
在平面直角座標系XOY中,拋物線y=ax2+bx+4經過A(﹣3,0)、B(4,0)兩點,且與y軸交於點C,點D在x軸的負半軸上,且BD=BC,有一動點P從點A出發,沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動,同時另一個動點Q從點C出發,沿線段CA以某一速度向點A移動.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若經過t秒的移動,線段PQ被CD垂直平分,求此時t的值;
(3)該拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MA的值最小?若存在,求出點M的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+4經過A(﹣3,0),B(4,0)兩點,
∴,解得,
∴所求拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+4;
(2)如圖1,依題意知AP=t,連接DQ,
∵A(﹣3,0),B(4,0),C(0,4),
∴AC=5,BC=4,AB=7.
∵BD=BC,
∴AD=AB﹣BD=7﹣4,
∵CD垂直平分PQ,
∴QD=DP,∠CDQ=∠CDP.
∵BD=BC,
∴∠DCB=∠CDB.
∴∠CDQ=∠DCB.
∴DQ∥BC.
∴△ADQ∽△ABC.
∴=,
∴=,
∴=,
解得DP=4﹣,
∴AP=AD+DP=.
∴線段PQ被CD垂直平分時,t的值為;
(3)如圖2,設拋物線y=﹣x2+x+4的對稱軸x=與x軸交於點E.點A、B關於對稱軸x=對稱,連接BQ交該對稱軸於點M.
則MQ+MA=MQ+MB,即MQ+MA=BQ,
∵當BQ⊥AC時,BQ最小,此時,∠EBM=∠ACO,
∴tan∠EBM=tan∠ACO=,∴=,∴=,解ME=.
∴M(,),即在拋物線y=﹣x2+x+4的對稱軸上存在一點M(,),使得MQ+MA的值最小.
知識點:函數的應用
題型:解答題