在平面直角座標系中，拋物線y=mx2﹣2x+n與x軸的兩個交點分別為A（﹣3，0）、B（1，0），過頂點C作C...

問題詳情：

在平面直角座標系中，拋物線y=mx2﹣2x+n與x軸的兩個交點分別為A（﹣3，0）、B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸於點H．

（1）求m、n的值和頂點C的縱座標．

（2）在y軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的座標；若不存在，説明理由；

（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC於點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的座標．

【回答】

【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）分別代入y=mx2﹣2x+n，

，

解得：m=﹣1，n=3，

則該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3，

因為y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

所以頂點C的座標為（﹣1，4）；

（2）如圖1，過點C作CE⊥y軸於點E，

設D（0，c），則OD=c，

∵A（﹣3，0），C（﹣1，4），

∴CE=1，OA=3，OE=4，

假設在y軸上存在滿足條件的點D，

由∠CDA=90°得∠1+∠2=90°，

又∵∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1，

又∵∠CED=∠DOA=90°，

∴△CED∽△DOA，

∴=，

設D（0，c），

則=，

變形，得c2﹣4c+3=0，解得c1=3，c2=1，

綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形；

（3）①若點P在對稱軸右側（如圖2），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH，

延長CP交x軸於M，

∴AM=CM，

∴AM2=CM2．

設M（m，0），則（m+3）2=42+（m+1）2，

∴m=2，即M（2，0），

設直線CM的解析式為y=k1x+b1，

則，

解之得：k1=﹣，b1=，

∴直線CM的解析式y=﹣x+，

聯立，

解得：或（捨去），

∴P（，）；

②若點P在對稱軸左側（如圖3），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．

過A作CA的垂線交PC於點F，作FN⊥x軸於點N，

由△CFA∽△CAH得： ==2，

由△FNA∽△AHC得： ===，

∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，則AH=2，

∴點F座標為（﹣5，1）．

設直線CF的解析式為y=k2x+b2，則，

解得：k2=，b2=，

∴直線CF的解析式y=x+，

聯立，

解得或（捨去），

∴P（﹣，），

∴滿足條件的點P座標為（，）或（﹣，）．

知識點：相似三角形

題型：綜合題