已知拋物線y=x2﹣2x+c與x軸交於A．B兩點，與y軸交於C點，拋物線的頂點為D點，點A的座標為（﹣1，0）...

問題詳情：

已知拋物線y=x2﹣2x+c與x軸交於A．B兩點，與y軸交於C點，拋物線的頂點為D點，點A的座標為（﹣1，0）．

（1）求D點的座標；

（2）如圖1，連接AC，BD並延長交於點E，求∠E的度數；

（3）如圖2，已知點P（﹣4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC於點M，當∠PMA=∠E時，求點Q的座標．

【回答】

解：（1）把x=﹣1，y=0代入y=x2﹣2x+c得：1+2+c=0

∴c=﹣3

∴y=x2﹣2x﹣3=y=（x﹣1）2﹣4

∴頂點座標為（1，﹣4）；

（2）如圖1，連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸於點F，

由x2﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3

∴B（3，0）

當x=0時，y=x2﹣2x﹣3=﹣3

∴C（0，﹣3）

∴OB=OC=3

∵∠BOC=90°，

∴∠OCB=45°，

BC=3

又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，

∴∠FCD=45°，CD=，

∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°．

∴∠BCD=∠COA

又∵

∴△DCB∽△AOC，

∴∠CBD=∠OCA

又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB

∴∠E=∠OCB=45°，

（3）如圖2，設直線PQ交y軸於N點，交BD於H點，作DG⊥x軸於G點

∵∠PMA=45°，

∴∠EMH=45°，

∴∠MHE=90°，

∴∠PHB=90°，

∴∠DBG+∠OPN=90°

又∴∠ONP+∠OPN=90°，

∴∠DBG=∠ONP

又∵∠DGB=∠PON=90°，

∴△DGB=∠PON=90°，

∴△DGB∽△PON

∴

即：=

∴ON=2，

∴N（0，﹣2）

設直線PQ的解析式為y=kx+b

則

解得：

∴y=﹣x﹣2

設Q（m，n）且n＜0，

∴n=﹣m﹣2

又∵Q（m，n）在y=x2﹣2x﹣3上，

∴n=m2﹣2m﹣3

∴﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3

解得：m=2或m=﹣

∴n=﹣3或n=﹣

∴點Q的座標為（2，﹣3）或（﹣，﹣）．

知識點：相似三角形

題型：綜合題