已知拋物線y＝﹣x2+x+9與x軸交於A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C．（1）如圖1，點P為線段...
問題詳情：
已知拋物線y＝﹣
x2+
x+9與x軸交於A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C．
（1）如圖1，點P為線段BC上方拋物線上的任意一點，當四邊形PCAB面積最大時，連接OP並延長至點Q，使PQ＝OP，在對稱軸上有一動點E，將△ACE沿邊CE翻折得到△A′CE，取BA′的中點N，求BQ+QN的最大值；
（2）如圖2，將△AOC繞點O順時針旋轉至△A1OC1的位置，點A，C的對應點分別為A1，C1，且點A1落在線段AC上，再將△A1OC1沿y軸平移得△A2O1C2，其中直線O1C2與x軸交於點K，點T是拋物線對稱軸上的動點，連接KT，O1T，△O1KT能否成為以O1K為直角邊的等腰直角三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的點T的座標；若不能，請説明理由．
【回答】
解：（1）
針對於拋物線y＝﹣
x2+
x+9，
令x＝0，則y＝9，
∴C（0，9），
令y＝0，
∴0＝﹣x2+x+9，
∴x＝﹣3
，或x＝9
，
∴A（﹣3，0），B（9，0），
∵S四邊形ABPC＝S△ABC+S△BPC
＝
×（9
+3
）×9+S△BPC＝45
+S△BPC，
要四邊形ABPC的面積最大，只要△BPC的面積最大，
∵B（9，0），C（0，9）
∴直線BC的解析式為y＝﹣
x+9，如圖1，
過點P作PD'∥y軸交BC於D'，
設點P（m，﹣
m2+
m+9）（0＜m＜9），
∴D（m，﹣
m+9），
∴PD'＝﹣
m2+
m+9﹣（﹣
m+9）＝﹣
m2+m＝﹣
（m﹣
）2+
，
∴S△BPC＝
[﹣（m﹣
）2+
]×9
＝﹣
（m﹣
）2+
∴當m＝
時，△BPC的面積最大，即：四邊形ABPC的面積最大，
∴P（，
），
∵點Q在OP的延長線上，且PQ＝OP，
∴Q（9
，
），
∵B（9
，0）
∴BQ⊥x軸，BQ＝
，
如圖2，
延長BQ至F，使QF＝BQ，連接A'F，
∴BF＝45，
∴F（9
，45），
∵點N是A'B的中點，
∴QN是△A'BF的中位線，
∴A'F＝2QN，
∵BQ+QN＝9+QN，最大，
∴QN最大，即：A'F最大，
由摺疊知，點A'在以點C為圓心，AC＝6
為半徑的圓上，
∴FA'過點C時，A'F最大，
∵C（0，9），F（9，45），
∴直線CF的解析式為y＝
x+9，
令y＝0，
∴x＝﹣
＞3
，
∴點A'在x軸下方，如圖3，
過點C作CD⊥BF於D，
在Rt△CDF中，CF＝
＝9
，
∴A'F最大＝CF+A'C＝9
+6
，
∴QN最大＝
，
∴（QN+QB）最大＝
+
＝
；
（2）在Rt△AOC中，OA＝3
，OC＝9，
∴tan∠OAC＝
＝
，
∴∠OAC＝60°，
由旋轉知，OA＝OA1，
∴△AOA1是等邊三角形，
∠A1OA＝60°＝∠OA1C1，
∴A1C1∥x軸，
∴∠OC1A1＝30°，C1（9，3）
∴直線OC1的解析式為y＝
x，
∵OC1∥O1C2，
∴設直線O1C2的解析式為y＝
x+b，
∴O1（0，b），K（﹣b，0），
∴OO1＝|b|，OK＝
|b|，
∵拋物線的解析式為y＝﹣
x2+
x+9，
∴此拋物線的對稱軸為x＝3
，
①當∠O1KT＝90°時，b＜0，OO1＝﹣b，OK＝﹣
b，
如圖4，易*，△O1OK≌△KHT（AAS），
∴OO1＝KT，OK＝HT，
∴|b|+|b|＝3，
∴b＝
．
∴HT＝OK＝
，
∴T（3，
）；
②當∠KO1T＝90°時，當b＞0時，如圖5，OO1＝b，OK＝
b，
易*，△O1OK≌△O1HT（AAS），
∴OO1＝HT，OK＝O1H，
∴b＝3
，
∴OH＝O1H﹣OO1＝OK﹣OO1＝9﹣3
，
∴T（3，9﹣3）；
當∠KO1T＝90°時，當b＜0時，如圖6，
OO1＝﹣b，OK＝﹣b，
易*，△O1OK≌△O1HT（AAS），
∴OO1＝HT，OK＝O1H，
∴b＝﹣3，
∴OH＝O1H+OO1＝OK+OO1＝9+3，
∴T（3
，﹣9﹣3
）；
即：（3
，
）或（3，9﹣3）或（3，﹣9﹣3）．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
