如圖,拋物線y=與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交於點C,連接BC,點D為拋物線對稱軸上一動點...
來源：國語幫 2.07W
問題詳情：
如圖,拋物線y=
與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交於點C,連接BC,點D為拋物線對稱軸上一動點
(1)求直線BC的函數表達式;
(2)連接0D、CD,求
OCD周長的最小值;
(3)在拋物線上是否存在一點E.使以B 、C、D、E為頂點的四邊形是以BC為邊的平行四邊形?若存在,請直接寫出E點的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
解：(1)∵y＝－
x2＋2x＋6＝－
(x－6)(x＋2)，
令x＝0，得C(0，6)，令y＝0，得A(－2，0)，B(6，0)，(1分)
設直線BC的函數表達式為y＝ax＋b，
將點B，C的座標代入表達式，得
，解得
.(2分)
∴直線BC的函數表達式為y＝－x＋6；(3分)
(2)∵y＝－x2＋2x＋6＝－
(x－2)2＋8，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝2.(4分)
∵OC的值固定，
∴要求△OCD周長的最小值，只需求出OD＋CD的最小值．(5分)
如解圖①，作點O關於拋物線對稱軸的對稱點O′，連接O′C交拋物線對稱軸於點D，此時OD＋CD有最小值，即O′C的長，
(解圖①)
則OD＋CD＝O′D＋CD≥O′C，(6分)
∵OO′＝2×2＝4，
∴O′C＝
＝2
.(7分)
∵OC＝6，
∴△OCD周長的最小值為6＋2
；(8分)
(3)存在，點E的座標為(－4，－10)或(8，－10)．(13分)
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
