如圖,直線與x軸交於點A,與y軸交於點B,拋物線經過A,B兩點,與x軸的另一個交點為C.(1)求拋物線的解析式...
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問題詳情：
如圖,直線
與x軸交於點A,與y軸交於點B,拋物線
經過A,B兩點,與x軸的另一個交點為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是第一象限拋物線上的點,連接OP交直線AB於點Q,設點P的橫座標為m,PQ與OQ的比值為y,求y與m的函數關係式,並求出PQ與OQ的比值的最大值;
(3)點D是拋物線對稱軸上的一動點,連接OD,CD,設△ODC外接圓的圓心為M,當sin∠ODC的值最大時,求點M的座標.
【回答】
解:(1)在y=-
x+3中,
令y=0得x=4,令x=0得y=3,
∴點A(4,0),B(0,3).
把A(4,0),B(0,3)的座標代入y=-
x2+bx+c,得:
解得:
∴拋物線解析式為y=-
x2+
x+3.
(2)如圖①,過點P作y軸的平行線交AB於點E,
則△PEQ∽△OBQ,
∴
,
∵
=y,OB=3,
∴y=
PE.
∵P(m,
m2+
m+3),E(m,
m+3),
∴PE=(
m2+
m+3)-(
m+3)=
m2+
m,
∴y=
(
m2+
m)=-
m2+
m=-
(m-2)2+
,
∵0<m<4,
∴當m=2時,y最大值=
,
∴PQ與OQ的比值的最大值為
.
(3)由拋物線y=-
x2+
x+3易求C(-2,0),對稱軸為直線x=1.
∵△ODC的外心為點M,
∴點M在CO的垂直平分線上.
設CO的垂直平分線與CO交於點N,連接OM,CM,DM,如圖②,
則∠ODC=
∠CMO=∠OMN,MC=MO=MD,
∴sin∠ODC=sin∠OMN=
,
∴sin∠ODC的值隨着MO的減小而增大.
又MO=MD,
∴當MD取最小值時,sin∠ODC最大,
此時☉M與直線x=1相切,MD=2,
MN=
=
,
∴點M(-1,-
),
根據對稱*,另一點(-1,
)也符合題意.
綜上所述,點M的座標為(-1,
)或(-1,-
).
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
