如圖，直線與軸交於點，與軸交於點，拋物線經過點，.（1）求點B的座標和拋物線的解析式；（2）M（m，0）為x軸...

問題詳情：

如圖，直線與軸交於點，與軸交於點，拋物線經過點，.

（1）求點B的座標和拋物線的解析式；

（2）M（m，0）為x軸上一個動點，過點M垂直於x軸的直線與直線AB和拋物線分別交於點P、N，

①點在線段上運動，若以，，為頂點的三角形與相似，求點的座標；

②點在軸上自由運動，若三個點，，中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外），則稱，，三點為“共諧點”.請直接寫出使得，，三點成為“共諧點”的的值.

【回答】

（1）B（0，2），；（2）①點M的座標為（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.

【分析】

(1)把點代入求得c值，即可得點B的座標；拋物線經過點，即可求得b值，從而求得拋物線的解析式；（2）由軸，M（m，0），可得N()，①分∠NBP=90°和∠BNP =90°兩種情況求點M的座標；②分N為PM的中點、P為NM的中點、M為PN的中點3種情況求m的值.

【詳解】

（1）直線與軸交於點，

∴，解得c=2

∴B（0，2），

∵拋物線經過點，

∴，∴b=

∴拋物線的解析式為；

（2）∵軸，M（m，0），∴N()

①有（1）知直線AB的解析式為，OA=3，OB=2

∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，

若使△APM中和△BPN相似，則必須∠NBP=90°或∠BNP =90°，

分兩種情況討論如下：

（I）當∠NBP=90°時，過點N作NC軸於點C，

則∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，

BC=

∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，

∴∠BNC=∠ABO，

∴Rt△NCB∽ Rt△BOA

∴,即，解得m=0（捨去）或m=

∴M（，0）；

（II）當∠BNP=90°時， BNMN，

∴點N的縱座標為2，

∴

解得m=0（捨去）或m=

∴M（，0）；

綜上，點M的座標為（，0）或M（，0）；

②由①可知M(m,0),P(m,),N(m,)，

∵M，P，N三點為“共諧點”，

∴有P為線段MN的中點、M為線段PN的中點或N為線段PM的中點，

當P為線段MN的中點時,則有2()=,解得m=3(三點重合,捨去)或m=；

當M為線段PN的中點時,則有+()=0,解得m=3(捨去)或m=−1；

當N為線段PM的中點時,則有=2(),解得m=3(捨去)或m=；

綜上可知當M,P,N三點成為“共諧點”時m的值為或−1或.

考點：二次函數綜合題.

知識點：二次函數單元測試

題型：解答題