如圖1所示，在平面直角座標系中，拋物線與軸交於點和點，與軸交於點．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖2，將拋物...
問題詳情：
如圖1所示，在平面直角座標系中，拋物線
與
軸交於點
和點
，與
軸交於點
．
（1）求拋物線
的表達式；
（2）如圖2，將拋物線
先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線
，若拋物線
與拋物線
相交於點
，連接
，
，
．
①求點
的座標；
②判斷
的形狀，並説明理由；
（3）在（2）的條件下，拋物線
上是否存在點
，使得
為等腰直角三角形，若存在，求出點
的座標；若不存在，請説明理由．
【回答】
（1）
；（2）①點
的座標
；②
是等腰直角三角形，理由見解析；（3）
或
．
【解析】
（1）將點
代入即可得；
（2）①先根據二次函數的平移規律得出拋物線
的表達式，再聯立兩條拋物線的表達式求解即可得；
②先根據拋物線
的表達式求出點B、C的座標，再利用兩點之間的距離公式分別求出BC、BD、CD的長，然後根據勾股定理的逆定理、等腰三角形的定義即可得；
（3）設點P的座標為
，根據等腰直角三角形的定義分三種情況：①當
時，先根據等腰直角三角形的*質、線段中點的點座標求出點P的座標，再代入拋物線
的表達式，檢驗點P是否在拋物線
的表達式上即可；②當
時，先根據平行四邊形的判定得出四邊形BCDP是平行四邊形，再根據點C至點B的平移方式與點D至點P的平移方式相同可求出點P的座標，然後代入拋物線
的表達式，檢驗點P是否在拋物線
的表達式上即可；③當
時，先根據等腰直角三角形的*質得出點P在在線段BD的垂直平分線上，再利用待定係數法求出BD的垂直平分線上所在直線的解析式，然後根據兩點之間的距離公式和
可求出點P的座標，最後代入拋物線
的表達式，檢驗點P是否在拋物線
的表達式上即可．
【詳解】
（1）將點
代入拋物線
的表達式得：
解得
則拋物線
的表達式為
故拋物線
的表達式為
；
（2）①由二次函數的平移規律得：拋物線
的表達式為
即
聯立
，解得
則點
的座標為
；
②對於
當
時，
，解得
或
則點B的座標為
當
時，
，則點C的座標為
由兩點之間的距離公式得：
則
，
故
是等腰直角三角形；
（3）拋物線
的表達式為
設點P的座標為
由題意，分以下三種情況：
①當
時，
為等腰直角三角形
是等腰直角三角形，
，
點D是CP的中點
則
，解得
即點P的座標為
對於拋物線
的表達式
當
時，
即點
在拋物線
上，符合題意
②當
時，
為等腰直角三角形
，
，
四邊形BCDP是平行四邊形
點C至點B的平移方式與點D至點P的平移方式相同
點C至點B的平移方式為先向下平移4個單位長度，再向右平移2個單位長度
即點P的座標為
對於拋物線
的表達式
當
時，
即點
在拋物線
上，符合題意
③當
時，
為等腰直角三角形
則點P在線段BD的垂直平分線上
設直線BD的解析式
將點
代入得：
，解得
則直線BD的解析式
設BD的垂線平分線所在直線的解析式為
點
的中點的座標為
，即
將點
代入
得：
，解得
則BD的垂線平分線所在直線的解析式為
因此有
，即點P的座標為
由兩點之間的距離公式得：
又
，
為等腰直角三角形
則
解得
或
當
時，
，即點P的座標為
當
時，
，即點P的座標為
對於拋物線
的表達式
當
時，
即點
不在拋物線
上，不符合題意，捨去
當
時，
即點
不在拋物線
上，不符合題意，捨去
綜上，符合條件的點P的座標為
或
．
【點睛】
本題考查了利用待定係數法求二次函數的解析式、二次函數圖象的平移，點座標的平移、等腰直角三角形的判定與*質等知識點，較難的是題（3），正確分三種情況，結合等腰直角三角形的*質是解題關鍵．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
