如圖(1),在平面直角座標系中拋物線與軸交於點,與軸交於點,且經過點,連接,,作於點,將沿軸翻折,點的對應點為...
問題詳情:
如圖(1),在平面直角座標系中拋物線與軸交於點,與軸交於點,且經過點,連接,,作於點,將沿軸翻折,點的對應點為點.解答下列問題:
(1)拋物線的解析式為_______,頂點座標為________;
(2)判斷點是否在直線上,並説明理由;
(3)如圖(2),將圖(1)中沿着平移後,得到.若邊在線段上,點在拋物線上,連接,求四邊形的面積.
【回答】
(1),(4,);(2)在,理由見解析;(3)22.
【解析】
(1)根據待定係數法將B、C兩點座標直接代入解析式即可求出a、b,用*法將解析式變形為頂點式即可得出頂點座標;
(2)由三角形ABO是直角三角形,求得∠MAO=∠B,繼而求得tan∠MAO= tan∠NAO = tan∠CAO=,從而∠CAO=∠NAO,即AC與AN共線;
(3)由平移規律可知,AF//OB,根據 直線OB解析式求出直線AF解析式,進而求出直線AF與拋物線交點,得F座標,即可四邊形的面積等於四邊形AODF面積即可解.
【詳解】
解:把點,點代入拋物線解析式得:
,解得,
即拋物線解析式為:,
∴,
∴頂點座標為(4,)
故*為:,(4,);
(2)∵與y軸交於A點,
∴A點座標為(0,4),
又∵B點座標為(8,4),故AB⊥y軸,
∵AM⊥OB,
∴∠MAB+∠B=∠MAB+∠MAO,
∴∠MAO=∠B,
∵OA=4,AB=8,
∴tan∠MAO= tan∠B=,
將沿軸翻折,點的對應點為點.
∴tan∠MAO= tan∠NAO =,
又∵ OC=2,tan∠CAO,
∴∠CAO=∠NAO,即AC與AN共線,
故N點直線AC上;
(3)∵B點座標為(8,4),
∴直線OB解析式為,
平移規律可知,AF//OB,又因為點A座標為,
∴直線AF解析式為,
聯立解析式得方程組: ,解得,,
故F點座標為:,
由平移*質可知四邊形AODF是平行四邊形,≌.
∴四邊形的面積=平行四邊形AODF面積,
∵平行四邊形AODF面積=,
∴四邊形的面積為22.
【點睛】
本題是函數與幾何綜合題,涉及了待定係數法求解析式、二次函數、一次函數的應用、解直角三角形、平移、軸對稱等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,會構建直角三角形求點座標,學會構建一次函數,利用方程組求兩函數圖象的交點座標,屬於中考壓軸題.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題