已知,在平面直角座標系中,點為座標原點,直線與軸的正半軸交於點A,與軸的負半軸交於點B,,過點A作軸的垂線與過...
問題詳情:
已知,在平面直角座標系中,點為座標原點,直線與軸的正半軸交於點A,與軸的負半軸交於點B, ,過點A作軸的垂線與過點O的直線相交於點C,直線OC的解析式為,過點C作軸,垂足為.
(1)如圖1,求直線的解析式;
(2)如圖2,點N在線段上,連接ON,點P在線段ON上,過P點作軸,垂足為D,交OC於點E,若,求的值;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點F為線段AB上一點,連接OF,過點F作OF的垂線交線段AC於點Q,連接BQ,過點F作軸的平行線交BQ於點G,連接PF交軸於點H,連接EH,若,求點P的座標.
【回答】
(1);(2);(3).
【解析】
(1)根據題意求出A,B的座標即可求出直線AB的解析式;
(2)求出N(3,9),以及ON的解析式為y=3x,設P(a,3a),表達出PE及OD即可解答;
(3)如圖,設直線GF交CA延長線於點R,交y軸於點S,過點F作FT⊥x軸於點T,先*四邊形OSRA為矩形,再通過邊角關係*△OFS≌△FQR,得到SF=QR,進而*△BSG≌△QRG,得到SG=RG=6,設FR=m,根據,以及在Rt△GQR中利用勾股定理求出m的值,得到FS=8,AR=4,*四邊形OSFT為矩形,得到OT=FS=8,根據∠DHE=∠DPH,利用正切函數的定義得到,從而得到DH=,根據∠PHD=∠FHT,得到HT=2,再根據OT=OD+DH+HT,列出關於a的方程即可求出a的值,從而得到點P的座標.
【詳解】
解:(1)∵CM⊥y軸,OM=9,
∴當y=9時,,解得:x=12,
∴C(12,9),
∵CA⊥x軸,則A(12,0),
∴OB=OA=12,則B(0,-12),
設直線AB的解析式為y=kx+b,
∴,解得:,
∴;
(2)由題意可得,∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°,
∴四邊形MOAC為矩形,
∴MC=OA=12,
∵NC=OM,
∴NC=9,則MN=MC-NC=3,
∴N(3,9)
設直線ON的解析式為,
將N(3,9)代入得:,解得:,
∴y=3x,
設P(a,3a)
∵PD⊥x軸交OC於點E,交x軸於點D,
∴,,
∴PE=,OD=a,
∴;
(3)如圖,設直線GF交CA延長線於點R,交y軸於點S,過點F作FT⊥x軸於點T,
∵GF∥x軸,
∴∠OSR=∠MOA=90°,∠CAO=∠R=90°,∠BOA=∠BSG=90°,∠OAB=∠AFR,
∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°,
則四邊形OSRA為矩形,
∴OS=AR,SR=OA=12,
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB=45°,
∴∠FAR=90°-∠AFR=45°,
∴∠FAR=∠AFR,
∴FR=AR=OS,
∵QF⊥OF,
∴∠OFQ=90°,
∴∠OFS+∠QFR=90°,
∵∠SOF+∠OFS=90°,
∴∠SOF=∠QFR,
∴△OFS≌△FQR,
∴SF=QR,
∵∠SFB=∠AFR=45°,
∴∠SBF=∠SFB,
∴BS=SF=QR,
∵∠SGB=∠RGQ,
∴△BSG≌△QRG,
∴SG=RG=6,
設FR=m,則AR=m,
∴QR=SF=12-m,
∴AF=,
∵,
∴GQ=,
∵QG2=GR2+QR2,即,解得:m=4,
∴FS=8,AR=4,
∵∠OAB=∠FAR,FT⊥OA,FR⊥AR,
∴FT=FR=AR=4,∠OTF=90°,
∴四邊形OSFT為矩形,
∴OT=FS=8,
∵∠DHE=∠DPH,
∴tan∠DHE=tan∠DPH,
∴,
由(2)可知,DE=,PD=3a,
∴,解得:DH=,
∴tan∠PHD=,
∵∠PHD=∠FHT,
∴tan∠FHT=,
∴HT=2,
∵OT=OD+DH+HT,
∴,
∴a=,
∴
【點睛】
本題考查了一次函數與幾何綜合問題,涉及了一次函數解析式的求法,矩形的判定與*質,全等三角形的判定與*質以及鋭角三角函數的定義等知識點,第(3)問難度較大,解題的關鍵是正確做出輔助線,熟悉幾何的基本知識,綜合運用全等三角形以及鋭角三角函數的概念進行解答.
知識點:相似三角形
題型:綜合題