如圖,已知拋物線的對稱軸為直線,且拋物線與軸交於、兩點,與軸交於點,其中,.(1)若直線經過、兩點,求直線和拋...
問題詳情:
如圖,已知拋物線的對稱軸為直線,且拋物線與軸交於、兩點,與軸交於點,其中,.
(1)若直線經過、兩點,求直線和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上找一點,使點到點的距離與到點的距離之和最小,求出點的座標;
(3)設點為拋物線的對稱軸上的一個動點,求使為直角三角形的點的座標.
【回答】
【*】(1)拋物線的解析式為,直線的解析式為.(2);(3)的座標為或或或.
【解析】分析:(1)先把點A,C的座標分別代入拋物線解析式得到a和b,c的關係式,再根據拋物線的對稱軸方程可得a和b的關係,再聯立得到方程組,解方程組,求出a,b,c的值即可得到拋物線解析式;把B、C兩點的座標代入直線y=mx+n,解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式;
(2)設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最小.把x=-1代入直線y=x+3得y的值,即可求出點M座標;
(3)設P(-1,t),又因為B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的座標.
詳解:(1)依題意得:,解之得:,
∴拋物線的解析式為.
∵對稱軸為,且拋物線經過,
∴把、分別代入直線,
得,解之得:,
∴直線的解析式為.
(2)直線與對稱軸的交點為,則此時的值最小,把代入直線得,
∴.即當點到點的距離與到點的距離之和最小時的座標為.
(注:本題只求座標沒説要*為何此時的值最小,所以*沒*的值最小的原因).
(3)設,又,,
∴,,,
①若點為直角頂點,則即:解之得:,
②若點為直角頂點,則即:解之得:,
③若點為直角頂點,則即:解之得:
,.
綜上所述的座標為或或或.
點睛:本題綜合考查了二次函數的圖象與*質、待定係數法求函數(二次函數和一次函數)的解析式、利用軸對稱*質確定線段的最小長度、難度不是很大,是一道不錯的中考壓軸題.
知識點:各地中考
題型:解答題