如圖，拋物線與x軸交於點A，點B，與y軸交於點C，拋物線的對稱軸為直線，點C座標為．（1）求拋物線表達式；（2...
問題詳情：
如圖，拋物線
與x軸交於點A，點B，與y軸交於點C，拋物線的對稱軸為直線
，點C座標為
．
（1）求拋物線表達式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使
，如果存在，求出點P座標；如果不存在，請説明理由；
（3）在（2）的條件下，若點P在x軸上方，點M是直線BP上方拋物線上的一個動點，求點M到直線BP的最大距離；
（4）點G是線段AC上的動點，點H是線段BC上的動點，點Q是線段AB上的動點，三個動點都不與點
重合，連接
，得到
，直接寫出
周長的最小值．
【回答】
（1）
；（2）存在，
或
，理由見解析；（3）
；（4）
【解析】
（1）利用拋物線的對稱軸為
，求出
的值，再把
的值和C的座標代入
計算即可；
（2）作
軸於點E，利用相似三角形的判定方法可*得
，設
，則
，再分別討論
的位置列式求解即可；
（3）作
軸於點F，交BP於點R，作
於點N，用待定係數法求出直線BP的解析式，利用解析式表示出MR的長度，再通過求*
聯合
建立比值關係列式計算即可；
（4）作
點關於
的對稱點
，作
關於
的對稱點
，連接
與
於
，與
交於點
，連接
交
於
，連接
交
於
，此時
的周長最小，這個最小值=
，再*
，
最小時，
周長最小，利用圖2*當點
與點
重合時
最小，在圖3中利用相似三角形的*質求出
的最小值即可解決問題．
【詳解】
解：（1）∵拋物線對稱軸為
將
代入
中，
（2）作
軸於點E
（此處也可以由等角的正切值相等得到）
設
，則
①當點P在X軸上方時：
解得
（不符題意，舍）
②當點P在x軸下方時：
解得
（不符題意，舍）
或
（3）作
軸於點F，交BP於點R，作
於點N
∵
∴
，
設
將
代入得
解得
設
，則
，
在
中
當
時，MN最大為
．
（4）
周長最小值是
解：作
點關於
的對稱點
，作
關於
的對稱點
，連接
與
於
，與
交於點
，連接
交
於
，連接
交
於
，此時
的周長最小，這個最小值=
．
∵
，
∴
∴當
最小時，
最小，如圖2中：
∵
∴
、
、
、
四點共圓，線段
就是圓的直徑，
是弦；
∵
是定值
∴直徑
最小時，弦
最小
∴當點
與點
重合時，
最小，此時
最小，如圖3中：
∵在
中，
，
，
∴
∵
，
，
∵
，
∴
∴
∴
∵
，
∴
∴
∴
，同理可得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
周長的最小值=
【點睛】
本題主要考查了二次函數綜合題，其中涉及了待定係數法求二次函數，二次函數與座標軸交點問題，待定係數法求一次函數，相似三角形的判斷與*質，圓的*質，勾股定理，中位線，三角函數等知識點，熟練掌握二次函數的*質及相似三角形的判定定理並靈活運用分類討論的思想是解題的關鍵．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
