拋物線經過點和點，與軸交於點.（1）求該拋物線的函數表達式；（2）點是該拋物線上的動點，且位於軸的左側．①如圖...
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問題詳情：
拋物線
經過點
和點
，與
軸交於點
.
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）點
是該拋物線上的動點，且位於
軸的左側．
①如圖1，過點
作
軸於點
，作
軸於點
，當
時，求
的長；
②如圖2， 該拋物線上是否存在點
，使得
？若存在，請求出所有點
的座標；若不存在，請説明理由．
【回答】
（1）
；（2）①2或
；②存在；
或
【解析】
（1）用待定係數法求解即可；
（2）①設
則
，排除當點
在
軸上，然後分兩種情況求解：
如圖1，當點
在第三象限時；
如圖2，當點
在第二象限時；
②存在，過點
作
於點
，交直線
於點
，由
可得
．過點
作
軸於點
，由
，求出MH、MA的值，然後分點P在第三象限和點P在第二象限求解即可．
【詳解】
解:（1）∵拋物線
經過點
，
，
解得
，
所以拋物線的函數表達式為
；
①設
則
．
因為點
是拋物線上的動點且位於
軸左側，
當點
在
軸上時，點
與
重合，不合題意，故舍去，
因此分為以下兩種情況討論:．
如圖1，當點
在第三象限時，點
座標為
，
則
，即
，
解得
(捨去)，
；
如圖2，當點
在第二象限時，點
座標為
，
則
，即
，
解得
(捨去) ，
，
綜上所述，
的長為
或
；
存在點
，使得
，理由如下:
當
時，
，
，
，
在
中，
．
過點
作
於點
，交直線
於點
，
則
，
又
，
∴
，
．
過點
作
軸於點
，則
，
，
，
，
，
即
，
，
如圖3，當點
在第三象限時，點
的座標為
，
由
和
得，
直線
的解析式為
．
於是有
，
即
，
解得
(捨去)，
點
的座標為
；
如圖4，當點
在第二象限時，點
的座標為
，
由
和
得，
直線
的解析式為
，
於是有
，
即
，
解得
(捨去)，
點
的座標為
，
綜上所述，點
的座標為
或
．
【點睛】
本題考查了待定係數法求函數解析式，二次函數圖象上點的座標特徵，勾股定理，相似三角形的判定與*質，以及分類討論的數學思想，分類討論是解答本題的關鍵．本題難度較大，屬中考壓軸題
知識點：相似三角形
題型：綜合題
