在平面直角座標系中，拋物線經過點和點，與y軸交於點D，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線的解析式；（2）如...

問題詳情：

在平面直角座標系中，拋物線經過點和點，與y軸交於點D，與x軸的另一交點為點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，連接，在拋物線上是否存在點P，使得？若存在，請求出點P的座標；若不存在，請説明理由；

（3）如圖2，連接，交y軸於點E，點M是線段上的動點（不與點A，點D重合），將沿所在直線翻折，得到，當與重疊部分的面積是面積的時，請直接寫出線段的長．

【回答】

（1）；（2）存在，（，）或（，）；（3）或

【解析】

（1）根據點A和點C的座標，利用待定係數法求解；

（2）在x軸正半軸上取點E，使OB=OE，過點E作EF⊥BD，垂足為F，構造出∠PBC=∠BDE，分點P在第三象限時，點P在x軸上方時，點P在第四象限時，共三種情況分別求解；

（3）設EF與AD交於點N，分點F在直線AC上方和點F在直線AC下方時兩種情況，利用題中所給面積關係和中線的*質可得MN=AN，FN=NE，從而*四邊形FMEA為平行四邊形，繼而求解．

【詳解】

解：（1）∵拋物線經過點A（-2，-4）和點C（2，0），

則，解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）存在，理由是：

在x軸正半軸上取點E，使OB=OE，過點E作EF⊥BD，垂足為F，

在中，

令y=0，解得：x=2或-1，

∴點B座標為（-1，0），

∴點E座標為（1，0），

可知：點B和點E關於y軸對稱，

∴∠BDO=∠EDO，即∠BDE=2∠BDO，

∵D（0，2），

∴DE==BD，

在△BDE中，有×BE×OD=×BD×EF，

即2×2=×EF，解得：EF=，

∴DF==，

∴tan∠BDE===，

若∠PBC=2∠BDO，

則∠PBC=∠BDE，

∵BD=DE=，BE=2，

則BD2+DE2＞BE2，

∴∠BDE為鋭角，

當點P在第三象限時，

∠PBC為鈍角，不符合；

當點P在x軸上方時，

∵∠PBC=∠BDE，設點P座標為（c，），

過點P作x軸的垂線，垂足為G，

則BG=c+1，PG=，

∴tan∠PBC===，

解得：c=，

∴=，

∴點P的座標為（，）；

當點P在第四象限時，

同理可得：PG=，BG=c+1，

tan∠PBC===，

解得：c=，

∴=，

∴點P的座標為（，），

綜上：點P的座標為（，）或（，）；

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題